172. 阶乘后的零（Python）

题目

难度：★★☆☆☆
类型：数学

给定一个整数 n，返回 n! 结果尾数中零的数量。

示例

示例 1:

输入: 3
输出: 0
解释: 3! = 6, 尾数中没有零。

示例 2:

输入: 5
输出: 1
解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零.
说明: 你算法的时间复杂度应为 O(log n) 。

解答

我们先来看一下从1到26计算阶乘后的结果：

1！= 1                                      0的个数为: 0
2！= 2                                      0的个数为: 0
3！= 6                                      0的个数为: 0
4！= 24                                     0的个数为: 0
5！= 120                                    0的个数为: 1
6！= 720                                    0的个数为: 1
7！= 5040                                   0的个数为: 1
8！= 40320                                  0的个数为: 1
9！= 362880                                 0的个数为: 1
10！= 3628800                                0的个数为: 2
11！= 39916800                               0的个数为: 2
12！= 479001600                              0的个数为: 2
13！= 6227020800                             0的个数为: 2
14！= 87178291200                            0的个数为: 2
15！= 1307674368000                          0的个数为: 3
16！= 20922789888000                         0的个数为: 3
17！= 355687428096000                        0的个数为: 3
18！= 6402373705728000                       0的个数为: 3
19！= 121645100408832000                     0的个数为: 3
20！= 2432902008176640000                    0的个数为: 4
21！= 51090942171709440000                   0的个数为: 4
22！= 1124000727777607680000                 0的个数为: 4
23！= 25852016738884976640000                0的个数为: 4
24！= 620448401733239439360000               0的个数为: 4
25！= 15511210043330985984000000             0的个数为: 6
26！= 403291461126605635584000000            0的个数为: 6
27！= 10888869450418352160768000000          0的个数为: 6
28！= 304888344611713860501504000000         0的个数为: 6
29！= 8841761993739701954543616000000        0的个数为: 6
30！= 265252859812191058636308480000000      0的个数为: 7

很容易观察到这样的现象：

1. 从4到5，从9到10，从14到15……阶乘中末尾零的个数增加，说明5对于阶乘结果的影响起决定性作用，每乘以一个含有因子5的数，零的个数增加一；

2. 从24到25，阶乘中末尾零的个数增加2个，而这一步相当于在24！的基础上乘了25，而25恰好是两个5相乘，实际上可以与两个偶数配对，偶数的个数是要远远多于5的倍数的。

为此，我们可以得出结论：将参与乘法运算的所有数进行因式分解，所有因子中5的个数少于2的个数，阶乘结果末尾零的个数实际上等于因子中5的个数。

我们可以通过以下方式求取因子中5的个数：

class Solution:
    def trailingZeroes(self, n):
        count = 0
        while n > 0:
            count += n // 5
            n /= 5
        return count

写成递归形式是这样：

class Solution:
    def trailingZeroes(self, n):
        if n < 5:
            return 0
        return n // 5 + self.trailingZeroes(n // 5)

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