多柱汉诺塔(Matrix上选做题)——递归与动态规划

分析：
对于三柱汉诺塔问题，我们已经熟知步骤数最优解为$$2^i-1$$,其中 i 为盘子个数。
对于四柱以上的问题，我们将柱子分为三类，起点柱Start，辅助柱Buf，终点柱End，三柱情况时，我们总想着将前n - 1个盘从Start借助End移动到Buf，然后将第 n 个盘从Start移到End，最后将Buf柱上的n - 1个盘借助Start移到End，这就找到了递推关系：
$$Steps(n)=2\ast Steps(n-1)+1$$
对于三柱问题，我们将前n-1盘移到Buf是唯一的选择，对于四柱以上的问题，我们可以移前n-1或者前n-2等等，哪个最佳呢？这就需要动态规划了。
思路：
这里提供Frame算法：
由于不知道哪个 r 使得移动前 n - r 个盘是最优解，我们需要算出所有可能性再取最小值。

（1）首先把前 n - r 个盘移从Strat移到Buf上，此时可用柱数为 m ，步骤数是$$Steps(m,n-r)$$

（2）再将剩下的 r 个盘从Start移到End上，由于上述步骤占用了1根柱子步骤数是$$Steps(m-1，r)$$

（3）最后将第一步的 n - r 个盘从Buf移到End上，虽然End柱被占用，但其中的盘均比这 n - r 个大，故可用柱子数仍为 m ，步骤数是$$Steps(m，n-r)$$

（4）依据上边规则求出所有$$r（1\le r\le n）$$情况下步数，取最小值得最终解。

因此Frame算法的递归方程如下：

$$Steps(m,n)=min(2\ast Steps(m,n-r)+Steps(m-1,r))，（1\le r\le n）。$$

于是有下列代码：

#include 
#include 

long long min_steps(int m,int n);

long long min(long long a,long long b);

int main() {
	int m,n;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	printf("%lld\n",min_steps(m,n));
} 
long long min_steps(int m,int n) {
	
	if(n == 0) return 0;//若盘子数为0，无论柱子数为多少，移动步数都是0
	if(n == 1) return 1;//若盘子数为1，无论柱子数为多少，移动步数都是1
	if(n == 2) return 3;//若盘子数为2，无论柱子数为多少，移动步数都是2
	
	if(m == 3) return (long long)pow(2,n) - 1;//若柱子数为3，就是经典的三柱汉诺塔问题
	
	else if(m > 3){//四柱及以上汉诺塔问题
		long long mini = (long long)pow(2,30);//预设一个比较大的值，方便下面取最小值不出错
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {	
			mini = min(mini,2*min_steps(m,n-i)+min_steps(m-1,i));
		}//动态规划
		return mini;
	}
} 
long long min(long long a,long long b) {
	if(a <= b) return a;
	else return b;
}