数据结构复习-图

图的基本概念

图由结点的有穷集合V和边的集合E组成。图中常常将结点成为顶点，边是顶点的有序偶对。若两个顶点之间存在一条边，则表示这两个顶点具有相邻关系。
边有方向的称为有向图，没有方向的称为无向图。
弧：在有向图中，通常将边称为弧，含箭头的一端成为弧头，另一端称为弧尾，记作，它表示从顶点vi到顶点vj有一条边。
有向完全图：若有向图有n个顶点，则最多有n(n-1)条边（图中任意两个顶点都有两条边相连），将具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。
无向完全图：若无向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)/2条边（任意两个顶点之间都有一条边），将具有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。

图的存储结构

1.邻接矩阵
邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V, E)是具有n个顶点的图，顶点序号依次为0,1,...,n-1，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A：
A[i][j]=1,表示顶点i与顶点j邻接，即i与j之间存在边或者弧；
A[i][j]=0,表示顶点i与顶点j不邻接。
邻接矩阵是图的顺序存储结构。
对于无向图，邻接矩阵是对称的，矩阵中“1”的个数为图中总边数的两倍，矩阵中第i行或第i列的元素之和即为顶点i的度。
对于有向图，矩阵中1的个数为图的边数，矩阵中第i行的元素之和为顶点i的出度，第j列元素之和即为顶点j的出度。
邻接矩阵的结构型定义如下：

typedef struct {
  int no; /* 顶点编号 */
  char info; /* 顶点其他信息 */
}VertexType; //顶点类型

typedef struct {
  int edges[maxSize][maxSize];
  int n, e;
  VertexType vex[maxSize];
}MGraph;   //图的邻接矩阵类型

2.邻接表
邻接表是图的一种链式存储结构。所谓邻接表就是对图中的每个顶点i建立一个单链表，每个单链表的第一个结点存放有关顶点的信息，把这一结点看作链表的表头，其余结点存放有关边的信息。它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相对邻接矩阵来说更省空间。

无向图的邻接表.png

有向图的邻接表.png

图的遍历算法操作

1.深度优先搜索遍历DFS

Depth First Search
图的DFS类似于二叉树的先序遍历。它的基本思想是：首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后选取与v邻接的未被访问的任意一个顶点w，并访问它；再选取与w邻接的未被访问的任一顶点并访问，以此重复进行。当一个顶点所有的邻接顶点都被访问过时，则依次退回到最近被访问过的顶点，若该顶点还有其他邻接顶点未被访问，则从这些未被访问的顶点中取一个并重复上述访问过程，直至图中所有顶点都被访问过为止。
算法执行过程：选取一个顶点，访问之，然后检查这个顶点的所有邻接顶点，递归访问其中未被访问过的顶点。

2.广度优先搜索遍历BFS

Breadth First Search
图的广度优先搜索遍历BFS类似于树的层次遍历。它的基本思想是：首先访问起始顶点v，然后选取与v邻接的全部顶点w1,w2...wn进行访问，再依次访问与w1,w2,....wn邻接的全部顶点（已经访问过的除外），以此类推，直到所有顶点都被访问过为止。
广度优先搜索遍历图时，需要用到一个队列（二叉树的层次遍历也要用到队列），算法执行过程可简单概括如下：

1. 任务图中一个顶点访问，入队，并将这个顶点标记为已访问。
2. 当队列不空时循环执行：出队，依次检查出队顶点的所有邻接顶点，访问没有被访问过的邻接顶点并将其入队。
3. 当队列为空时跳出循环，广度优先搜索即完成。

生成树和最小生成树

一个连通图的生成树是该连通图的一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有构成一棵树的（n-1）条边。
对于一个带权的连通无向图的不同生成树，各棵树的边上的权值之和可能不同，边上的权值之和最小的树称为最小生成树。

构成最小生成树的主要有：1.普里姆算法prim 2.克鲁斯卡尔算法kruskal

prim算法

对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

kruskal算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

最短路径

在无权图中，把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。
在带权图中，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或者最短距离。
求图的最短路径长度的问题分为两个方面：1.求图中的一个顶点到其余各顶点的最短路径(dijkstra迪杰斯特拉算法)
2.求图中每对顶点之间的最短路径（floyd算法）

迪杰斯特拉算法

迪杰斯特拉算法是典型的最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展（广度优先搜索思想），直到扩展到终点为止。

基本思想

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

操作步骤

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

迪杰斯特拉算法示例.png

弗洛伊德算法

迪杰斯特拉算法是求图中某一顶点到其余各顶点的最短路径，如果求图中任意一对顶点间的最短路径，则通常用弗洛伊德算法。

基本思想

通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵S进行N次更新。初始时，矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。 接下来开始，对矩阵S进行N次更新。第1次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i与j之间经过第1个顶点的距离")，则更新a[i][j]为"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][k]+a[k][j]"，则更新a[i][j]为"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之后，操作完成！

弗洛伊德算法示例.png

初始状态：S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。
第1步：初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步：以顶点A(第1个顶点)为中介点，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以顶点a[1]6，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而将A作为中介点时，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理，依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点，并更新a[i][j]的大小。