统计学之参数估计

参数估计的基本原理

估计量与估计值

如果我们得到总体的全部数据，做统计描述即可得到总体特征，但现实是，难以得到全部数据。因而需要参数估计。参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。如样本均值估计总体均值。在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量，用符号θ^表示，如样本均值、样本方差。根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

点估计与区间估计

点估计：用样本统计量θ^的某个取值直接作为总体参数θ的估计值。如样本均值直接作为总体均值的估计值。
在用点估计值代表总体参数值的同时，必须给出点估计值的可靠性，即点估计值与总体参数的真实值接近的程度。但一个点估计值的可靠性由抽样标准误差来衡量，即一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性度量，故而需要区间估计。
区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。与点估计不同，区间估计可以根据样本统计量的抽样分布对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。

如果抽取100个样本，根据每个样本构造一个置信区间，由100个样本构造的总体参数的100个置信区间中，95%的区间包含总体参数的真值，95%这个值称为置信水平。即将构造置信区间这个步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。

有关置信区间的概念可用下图来表示：

注意：

1.置信区间的宽度随着置信系数的增大而增大

2.用某种方法构造的所有区间有95%包含真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间

3.总体参数的真值是固定的，未知的，而用样本构造的区间是不固定的，即抽取不同的样本，可以得到不同的区间

4.实际问题中，估计时常用一个样本，构造的区间是一个特定的区间，不再是随机区间，无法知道是否包含真值。