贝叶斯定理及典型应用

 

贝叶斯定理（Bayes' theorem） 它是概率论中的一个结果，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。在有些关于概率的解说中，贝叶斯定理（贝叶斯更新）能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。

通常，事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。

作为一个规范的原理，贝叶斯定理对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中，概率如何被赋值，有着不同的看法： 频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。一个结果就是，贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯定理。

贝叶斯定理的陈述

贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的一则定理。

其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

在贝叶斯定理中，每个名词都有约定俗成的名称：

• P(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。
• P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。
• P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。
• P(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）.

按这些术语，Bayes定理可表述为：

后验概率 = (相似度*先验概率)/标准化常量

也就是说，后验概率与先验概率和相似度的乘积成正比。

另外，比例P(B|A)/P(B)也有时被称作标准相似度（standardised likelihood），Bayes定理可表述为：

后验概率 = 标准相似度*先验概率

 

贝叶斯定理的推广

 

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贝叶斯定理的典型应用

 

吸毒者检测

贝叶斯定理在检测吸毒者时很有用。假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为99%，也就是说，当被检者吸毒时，每次检测呈阳性（+）的概率为99%。而被检者不吸毒时，每次检测呈阴性（-）的概率为99%。从检测结果的概率来看，检测结果是比较准确的，但是贝叶斯定理确可以揭示一个潜在的问题。假设某公司将对其全体雇员进行一次鸦片吸食情况的检测，已知0.5%的雇员吸毒。我们想知道，每位医学检测呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？令“D”为雇员吸毒事件，“N”为雇员不吸毒事件，“+”为检测呈阳性事件。可得

• P(D)代表雇员吸毒的概率，不考虑其他情况，该值为0.005。因为公司的预先统计表明该公司的雇员中有0.5%的人吸食毒品，所以这个值就是D的先验概率。
• P(N)代表雇员不吸毒的概率，显然，该值为0.995，也就是1-P(D)。
• P(+|D)代表吸毒者阳性检出率，这是一个条件概率，由于阳性检测准确性是99%，因此该值为0.99。
• P(+|N)代表不吸毒者阳性检出率，也就是出错检测的概率，该值为0.01，因为对于不吸毒者，其检测为阴性的概率为99%，因此，其被误检测成阳性的概率为1-99%。
• P(+)代表不考虑其他因素的影响的阳性检出率。该值为0.0149或者1.49%。我们可以通过全概率公式计算得到：此概率 = 吸毒者阳性检出率（0.5% x 99% = 0.495%)+ 不吸毒者阳性检出率（99.5% x 1% = 0.995%)。P(+）=0.0149是检测呈阳性的先验概率。用数学公式描述为：

根据上述描述，我们可以计算某人检测呈阳性时确实吸毒的条件概率P(D|+)：

尽管我们的检测结果可靠性很高，但是只能得出如下结论：如果某人检测呈阳性，那么此人是吸毒的概率只有大约33%，也就是说此人不吸毒的可能性比较大。我们测试的条件（本例中指D，雇员吸毒）越难发生，发生误判的可能性越大。