python - 浮点数的存储结构 一笔笔教你怎么算

浮点数的表示

import struct
while 1:
    try:a=float(input("输入一个数，他会输出对应的浮点数结构，输入非数类退出："))
    except:break
    else:
        print(''.join(bin(h).replace('0b','').rjust(8,'0') for h in struct.pack('!f',a)))

我看到大大们的文章，喜欢用自定义方法来对某些函数加深认识，但是为什么浮点运算解释都那么模糊呢？
我看懂浮点运算的存储结构的计算方法了，今天晚了，明天码出来个手写的转浮点二进制的存储结构。
现在就先说说这些二进制是怎么来的

0 01111111 00000000000000000000000
正负标示 指数 基数

As was said, 5.2 is represented as a sign bit, an exponent and a mantissa. How do you encode 5.2?

符号位 指数 尾数

正负标示:0为正 1为负
指数：01111111：127即0，这样8位二进制对应的0~255就变成了-127~128
但：

（1） 当P = 0, M = 0时，表示0。（-127）

（2） 当P = 255, M = 0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。

（3） 当P = 255, M != 0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。

指数E

①E不全为0，不全为1:
这时就用正常的计算规则，E的真实值就是E的字面值减去127（中间值)，M的值要加上最前面的省去的1。
②E全为0
这时指数E等于1-127为真实值，M不在加上舍去的1，而是还原为0.xxxxxxxx小数。这样为了表示0，和一些很小的整数。
所以在进行浮点数与0的比较时，要注意。
③E全为1
当M全为0时，表示±无穷大（取决于符号位）；当M不全为1时，表示这数不是一个数（NaN）

    if num==0:
        print("00000000000000000000000000000000")
        continue
    if num=="nan":
        print("01111111110000000000000000000000")
        continue
    if num=="inf":
        print("01111111100000000000000000000000")
        continue
    if num=="-inf":
        print("11111111100000000000000000000000")
        continue

以上是我正在码的一段，判断输入的是什么特殊的浮点数
因为有这几个定义，所以有小范围就缩小了些。这里不再深论了！

关键！关键！关键！

这是二进制，所以指数和基数都是用二进制换算出来
我们都熟悉了8421的数列，即2⁰、2¹、2²、2³……
但浮点运算，用的是2^-1、2^-2、2^-3、2^-4……
对应的十进制就是0.5、0.25、0.125、0.0625……

看到的一个例子：0.0456他的二进制表示方法
浮点数的内存结构

比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );
0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。

我晕，他的文中是有长串的进制换算的，可惜我略过了，我硬生生的拼出来了换算方法。

0.0456要转变成1.xxx，他就需要乘以一个2的幂次方，1/0.0456=21.92982456140351，就近的2的幂次方就是32，即2⁵，所以0.045632/32=1.45922^-5
这样指数就有了，-5+127=122：1111010
而继续求算基数1.4592，十进制的1就是二进制0位上的1。二进制前后他都是1，所以忽略。只需要求算0.4592的二进制。
但这个二进制是从2的-1次方、-2、-3……
让我们先回头看看整数十进制转二进制怎么算的，例如55，首先我们不考虑高位，从低位算起。
1 54 2 52 4 48 8 40 16 24 余24 把这个余数往回看，加到某个数上，24-16=8，对应的16位上+1，对应的8位上+1
bin:111011 逆序 110111
话说当8+1的时候，先不考虑16是否+1，先把8的1加上去，这样就像是多米诺骨牌一下子累积到int:32上，之后再加16位上的1。

那回看现在的0.4592，她也是一个个的被2的次方消磨掉
0.5 0
0.25 1 0.2092
0.125 1 0.0842
0.0625 1 0.0217
0.03125 0
0.015625 1 0.006075
0.0078125 0
0.00390625 1 0.00216875
0.001953125 1 0.000215625
0.0009765625 0
0.00048828125 0
0.000244140625 0
0.0001220703125 1 0.0000935546875
0.00006103515625 1 0.00003251953125
0.000030517578125 1 0.000002001953125
0.0000152587890625 0
7.62939453125e-6 0
3.814697265625e-6 0
1.9073486328125e-6 1 0.0000000946044922 这里开始不精确了
9.5367431640625e-7 0
4.76837158203125e-7 0
2.384185791015625e-7 0
1.192092895507813e-7 0 这是最后一位 但可能是二进制的舍入，这里的结果是1
0.5960464477539063e-7 1 0.00000003499984742460937 这里超纲了
01110101100011100010001
以上都是笔算，windows的计算器程序员模式不支持浮点运算
那我们就把系统算的结果一直*2，看看结果：0 01111010 01110101100011100010001
01110101100011100010001

3852049，这是对应的十进制，怎么算呢？除以2循环直到小于1：0.4592000246047974

使用unpack得到：
01110101100011100010001 0.04560000076889992
01110101100011100010000 0.04559999704360962
以上是正好算到最后一个1就为0

In [13]: 2**-24
Out[13]: 5.960464477539063e-08

换成自然语言就是0.00000005960464477539063，把他再缩一缩加到0.04559999704360962
0.04560000704360962
总觉得哪里不对劲
0.04560000076889992-0.04559999704360962=
0.0000000037252903x windows计算器不能计入到最后一位
所以最后一个二进制1，可以理解为0.0000000037252903，我们把他的1/4加到0.04559999704360962，看看显示效果
0.0000000037252903/4：0.000000000931322575
0.0455999979749322

In [21]: struct.pack("!f",0.0455999979749322)
Out[21]: b'=:\xc7\x10'

看来舍入方法就是显示的最后一位是0，之后无法显示的那位是1，那么进位。
看得到精度是有问题的。
而以前我以为windows的计算器很diao，因为某软件需要小数点后13位，excel不支持，python，群友说的，那时我还没想再学这些东西。不过那时算出的精度也是有问题的！嘛~