点击率预测的贝叶斯平滑
文章目录
- 背景
- 贝叶斯平滑
- 点击率贝叶斯平滑的假设
- 点击率的极大似然估计
- 点击率的贝叶斯估计
- 平滑系数的计算
- 贝叶斯平滑因子的工程实践
- 矩估计
- 工程实践
- 非二项分布的贝叶斯平滑
背景
电商领域中经常需要计算或预测一些转化率指标，如最典型的CTR（点击率，Click-Through Rate）。这些转化率可以是模型的预测值，也可以作为模型的特征（feature）使用。以商品点击率预测为例，CTR的值等于点击量（Click）除以曝光量（Impression或Exposure）。以 r r r表示点击率，
r = C I (1) r=\frac{C}{I} \tag{1} r=IC(1).
但在实际应用过程中会碰到两个问题：
-
新商品点击率的预测与计算
对于新上线的商品，其曝光为0，点击量也为0，此时这件商品的CTR应该设为0还是赋一个初始值？ -
不同商品点击率之间的比较
有两件商品A和B，其点击率分别为 r A = 5 10 r_A=\frac{5}{10} rA=105和 r B = 50 100 r_B=\frac{50}{100} rB=10050， r A = r B r_A=r_B rA=rB，但商品A的曝光只有10次，商品B的曝光有100次，这样比较是否合理？
第一个问题，初始值设0是可以的，但不太合理。当CTR作为特征使用时，表示这个商品完全没有点击，不太符合日常推断，通常是赋一个大于0的初始值。第二个问题，不合理，通常会认为曝光次数少的商品权重应该低一些。
解决以上两个问题可以使用平滑的技术解决。最简单的方法是在计算CTR的公式中分子分母同时加上一个数，加上之后可避免这两个问题。
r = C + a I + b (2) r = \frac{C+a}{I+b} \tag{2} r=I+bC+a(2)
但(2)式中 a a a和 b b b的值如何确定？ 这两个数可以人为设定，但若设置得不合理会出现数据被放大的情况。本文介绍如何通过历史数据来计算有统计意义的 a a a和 b b b，即贝叶斯平滑。
贝叶斯平滑
贝叶斯平滑的思想是给CTR预设一个经验初始值，再通过当前的点击量和曝光量来修正这个初始值。如果某商品的点击量和曝光量都是0，那么该商品的CTR就是这个经验初始值；如果商品A和商品B的曝光量差别很大，那么可以通过这个经验初始值来修正，使得曝光量大的商品的权重增大。
贝叶斯平滑就是确定这个经验值的过程。贝叶斯平滑是基于贝叶斯统计推断的，因此经验值计算的过程依赖于数据的分布情况。
贝叶斯平滑的推导涉及贝叶斯参数估计，如果对贝叶斯参数估计不熟悉，可以先参考这篇文章：贝叶斯参数估计的理解及其在电商算法中的应用
点击率贝叶斯平滑的假设
对于一件商品或一条广告，对于某次曝光，用户要么点击，要么没点击，这符合二项分布。因此下文中对于点击率类的贝叶斯平滑，都是基于以下假设：对于某件商品或广告 X X X，其是否被点击是一个伯努利分布（Bernoulli）。
X ∼ B e r ( r ) (3) X \sim Ber( r) \tag{3} X∼Ber(r)(3)
其中 X X X表示某个广告是否被点击，点击取1，未被点击取0， r r r是某件商品被点击的概率，即点击率。
对于不符合二项分布的比值类数据，也可以通过贝叶斯参数估计的方法计算平滑参数，但是数据分布假设需要修改，后文有说明。
点击率的极大似然估计
在(3)式的假设下，可以使用极大似然法计算出点击率的估计值 r ^ \hat{r} r^。从用户日志中随机抽取 n n n条记录，对任一条记录 i i i都有
X i ∼ B e r ( r ) (4) X_i \sim Ber( r) \tag{4} Xi∼Ber(r)(4)
那么所有记录的点击数的联合概率密度就是上式的连乘。将连乘后的式子对 r r r求导，并令其等于0，可以解出 r r r的值 r ^ \hat{r} r^， r ^ \hat{r} r^就是点击率的极大似然估计。当某件商品的点击次数或曝光量等于0时，可以用 r ^ \hat{r} r^当成它的初始值。它解决了最开始提出的第一个问题，但没有解决第二个问题。
上述 r ^ \hat{r} r^的计算没有用到历史信息。所谓历史信息是指：虽然我们不知道 r r r的具体取值，但是可以知道 r r r取值的范围，更精确地，我们可以假设 r r r服从某个分布。要将这些信息融入到 r r r的估计中需要用到贝叶斯参数估计。关于贝叶斯参数估计的具体内容可以参考：贝叶斯参数估计的理解及其在电商算法中的应用。
点击率的贝叶斯估计
在贝叶斯框架下，我们假设点击率 r r r服从某个分布：
r ∼ π ( r ) (5) r \sim \pi(r) \tag{5} r∼π(r)(5)
因为这是基于经验的，这个分布称为先验分布。贝叶斯参数估计可以同时解决最开始提出的两个问题。其过程是基于经验或历史数据先给出一个 r r r的估计值，然后基于现有的数据在这个估计值上修正，得到最终的点击率估计，此时的估计值已经是修正过的。更美好的是我们可以分离出修正参数（即(2)式中的 a a a和 b b b）。
既然有先验分布，就有后验分布。 r r r的后验分布记作 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)。其中 x x x表示输入数据或特征，对于点击率预测， x x x就是点击次数和曝光量。因为已经看到了数据，才确定 r r r的分布，因此叫做『后验』分布。**贝叶斯估计的实质就是求后验分布。**即基于当前的点击次数和曝光量，求点击率的分布；而未看到数据之前点击率的分布是 π ( r ) \pi(r) π(r)。下面讲解如何计算后验分布 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x).
贝叶斯估计的过程可以简单认为：
用历史数据根据 π ( r ) \pi(r) π(r)估计 r r r，记作 r ^ h i s t o r y \hat{r}_{history} r^history；用当前数据根据 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)估计 r r r，记作 r ^ c u r r e n t \hat{r}_{current} r^current，然后用 r ^ h i s t o r y \hat{r}_{history} r^history修正 r ^ c u r r e n t \hat{r}_{current} r^current。
平滑系数的计算
r r r的后验分布 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)是个概率密度函数，无法知道 r r r确切的值。需要求出最接近真实情况的 r r r需要损失函数来约束。
适用于点击率的损失函数有：
- L ( r ^ , r ) = ( r ^ − r ) 2 L(\hat{r}, r) = (\hat{r} - r)^2 L(r^,r)=(r^−r)2
- L ( r ^ , r ) = ∣ r ^ − r ∣ L(\hat{r}, r) = |\hat{r} - r| L(r^,r)=∣r^−r∣
贝叶斯参数估计的过程可以简单描述为：求 r ^ \hat{r} r^，使得损失函数在 r r r的后验分布上的期望最小。
这句话的数学公式是：
arg min ∫ L ( r , r ^ ) π ( r ∣ x ) d r = arg min E π L ( r , r ^ ) (6) \arg \min \int L(r, \hat{r}) \pi(r|\boldsymbol{x})\ dr = \arg \min E_{\pi} L(r, \hat{r}) \tag{6} argmin∫L(r,r^)π(r∣x) dr=argminEπL(r,r^)(6)
整个过程的推导可以参考：贝叶斯参数估计的理解及其在电商算法中的应用。
要计算上式需要知道 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)的形式，然而 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)的形式一般不知道的，但是可以知道 π ( r ) \pi(r) π(r)的形式（经验值嘛，我们指定的，例如点击率就是伯努利分布）。此外，数据的分布我们也是知道的（通过样本得知），其概率密度函数（pdf）记为 f ( x ∣ r ) f(x|r) f(x∣r)，表示数据的分布跟参数 r r r有关， r r r是要求解的参数，在这里就是点击率。
这时可以根据贝叶斯公式计算出 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)：
π ( r ∣ x ) = f ( x ∣ r ) π ( r ) f ( x ) (7) \pi(r|\boldsymbol{x}) = \frac{f(\boldsymbol{x}|r)\pi(r)}{f(\boldsymbol{x})} \tag{7} π(r∣x)=f(x)f(x∣r)π(r)(7)
其中，
f ( x ) = ∫ 0 ∞ f ( x ∣ r ) π ( r ) d r (边缘概率密度定义) f(\boldsymbol{x}) = \int_0^\infty f(\boldsymbol{x}|r) \pi(r) dr\ \text{ (边缘概率密度定义)} f(x)=∫0∞f(x∣r)π(r)dr (边缘概率密度定义)
上式好复杂，但索性一些常见的分布都可以求出上式积分的具体形式。然而实际计算时通常不用去计算积分，因为满足一定条件， π ( r ) \pi(r) π(r)跟 π ( r ∣ x ) \pi(r|\boldsymbol{x}) π(r∣x)有一样的形式。 π ( r ) \pi(r) π(r)是已知的，如果形式一样， π ( r ∣ x ) \pi(r|\boldsymbol{x}) π(r∣x)也就容易求得了，这个条件就是共轭。下面介绍共轭先验的概念。
共轭先验：如果找到一个 π ( r ) \pi(r) π(r)，它是 f ( x ∣ r ) f(x|r) f(x∣r)的共轭先验，那么 r r r的后验分布 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)和先验分布 π ( r ) \pi(r) π(r)会有一样的形式。
『轭』是指驾车时套在牲口脖子上的曲木。古代拉扯的牲口通常有两只，因此轭是连接两只牲口的工具。在这里共轭是指 π ( r ) \pi(r) π(r)和 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)通过 f ( x ∣ r ) f(x|r) f(x∣r)联系起来了。
之前假设广告是否点击服从伯努利分布，参数为 r r r；对于点击次数，服从的是二项分布，即 f ( C , I ∣ r ) ∼ B i n ( r ) f(C, I|r) \sim Bin(r) f(C,I∣r)∼Bin(r)。二项分布的共轭先验是Beta分布，Beta分布的参数是 α \alpha α和 β \beta β，即 π ( r ) = B e t a ( α , β ) \pi(r) =Beta(\alpha, \beta) π(r)=Beta(α,β)。根据共轭先验的定义， r r r的后验分布 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)的形式跟其先验分布 π ( r ) \pi(r) π(r)一样，即 π ( r ∣ x ) = B e t a ( α ′ , β ′ ) \pi(r|x) = Beta(\alpha', \beta') π(r∣x)=Beta(α′,β′)。
对于点击率预测，求出 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)，带入公式(6)，当 L ( r ^ , r ) = ( r ^ − r ) 2 L(\hat{r}, r) = (\hat{r} - r)^2 L(r^,r)=(r^−r)2时，
r ^ = C + α I + α + β (8) \hat{r} = \frac{C + \alpha}{I + \alpha + \beta} \tag{8} r^=I+α+βC+α(8)
(8)式就是点击率估计（平滑）的最终形式。该式的具体求解过程可以参考贝叶斯参数估计最后二项分布的例子。其中 C C C和 I I I就是点击次数和曝光量， α \alpha α即为公式(2)中的 a a a， α + β \alpha + \beta α+β是公式(2)中的 b b b。 α \alpha α和 β \beta β是从历史数据中得到的。
上面的内容给出了为什么很多文章会假设点击率服从Beta分布的理由，因为最终的平滑的因子是Beta分布（先验分布）中的两个参数。那么如何计算（估计）这两个参数？
贝叶斯平滑因子的工程实践
综上，贝叶斯平滑的最终落脚点是要估计Beta分布（点击率 r r r服从的分布）中的参数 α \alpha α和 β \beta β，带入(8)式，得到平滑后的点击率。下面给出比较直观的矩估计的方法。
矩估计
Beta分布的期望是 E ( X ) = α α + β E(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} E(X)=α+βα，方差是 D ( X ) = α β ( α + β ) 2 + ( α + β + 1 ) D(X) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2 + (\alpha + \beta + 1)} D(X)=(α+β)2+(α+β+1)αβ. 我们可以用样本的均值代替期望，样本的方差代替总体的方差，此时就可以解出 α \alpha α和 β \beta β的值。 X ˉ \bar{X} Xˉ是样本均值， S 2 S^2 S2是样本方差，则：
α = X ˉ ( X ˉ ( 1 − X ˉ ) S 2 − 1 ) (9) \alpha = \bar{X}\left(\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{S^2}-1 \right) \tag{9} α=Xˉ(S2Xˉ(1−Xˉ)−1)(9)
β = ( 1 − X ˉ ) ( X ˉ ( 1 − X ˉ ) S 2 − 1 ) (10) \beta= (1-\bar{X})\left(\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{S^2}-1 \right) \tag{10} β=(1−Xˉ)(S2Xˉ(1−Xˉ)−1)(10)
这里的样本指的就是我们能观察到的商品的点击情况。
工程实践
实际操作时可以连续取一段时间的数据，比如一周，然后在每天的数据中计算每件商品或广告的点击率，之后求出这些点击率的均值和方差，带入公式(9)和公式(10)，可以得到每天的 α \alpha α和 β \beta β. 最后求这段时间 α \alpha α和 β \beta β的均值作为最终的平滑参数。
也可以每天计算前一天的 α \alpha α和 β \beta β，用于当天的点击率预测平滑。
实际应用时根据历史数据得到的 α \alpha α和 β \beta β可以帮助确定平滑参数的大致范围，防止设置参数时偏离过大。通常可以调整 α \alpha α和 β \beta β的范围达到预期的效果。
下图是某件商品在两周时间内的点击率。黄色线是每天根据点击次数 C C C和曝光量 I I I计算得到的真实点击率；蓝色线是根据一周的历史数据计算得到的 α \alpha α和 β \beta β带入公式(8)得到的平滑后的点击率；绿色线是自定义平滑参数的点击率， a = 50 a=50 a=50， b = 200 b=200 b=200，设置得比较夸张。可以看到如果平滑参数设置的不合理，会放大数据的表现，有时候甚至会扭曲数据的走势，数据预处理时需要考虑这样的情况。
非二项分布的贝叶斯平滑
公式(8)的结论适用于数据是二项分布的情况，如点击率。对于不是二项分布的数据公式(8)不适用。如果数据不是二项分布，那么其先验概率就不是Beta分布了。比如某件商品一天的点击量与一周的点击量的比值，这个数据不符合二项分布，因此不适用公式(8)。但这个数据有可能是高斯分布。如果数据是高斯分布，那么其先验概率 π ( r ) \pi(r) π(r)是逆Gamma分布（invers Gamma）分布，进而其后验概率 π ( r ∣ x ) \pi(r|x) π(r∣x)也是逆Gamma分布，此时公式(8)会有不一样的形式，视数据的具体情况而定。