坐标变换(8)—复特征值与旋转

1. 共轭复特征值

设$A$是$n\times n$的实矩阵，
$$\overline{Ax}=\bar{A}\bar{x}=A\bar{x}$$
假设$\lambda$是$A$的特征值，$x$为$\lambda$对应的特征向量，则$\bar{\lambda }$同样是$A$的特征值，而$\bar{x}$是对应的特征向量，
$$A\bar{x}=\overline{Ax}=\overline{\lambda x}=\bar{\lambda }\bar{x}$$

所以，当$A$是$n\times n$的实矩阵，它的复特征值以共轭复数对出现。

2. rotation-scaling matrix

假如$a$,$b$为实数，且不同时为0，则将下面的矩阵称为rotation-scaling matrix，
$$A=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
则有，

1. A可以写成下面的旋转+缩放形式，
   $$\begin{array}{rl}A& =\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{a}{r}& \frac{-b}{r}\\ \frac{b}{r}& \frac{a}{r}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
   其中，$r=\sqrt{\det (A)}=\sqrt{a^2+b^2}$，则$A$先旋转$\theta$，再倍乘$r$。

$A$的特征值为$\lambda =a\pm ib$。

3. 矩阵的复特征值

首先我们假定下面的记号，
$$\begin{array}{r}Re(a+bi)=a\\ Im(a+bi)=b\\ \mathrm{Re}\left(\begin{array}{l}x+yi\\ z+wi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x\\ z\end{array}\right)\\ \mathrm{Im}\left(\begin{array}{l}x+yi\\ z+wi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}y\\ w\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

这里首先讨论的矩阵是$2\times 2$的实矩阵，且矩阵有复特征值$\lambda$，而与特征值相对应的特征向量为$v$，这时候有个很漂亮的结论$A=CB{C}^{-1}$，其中
$$C=\left(\begin{array}{cc}|& |\\ \mathrm{Re}(v)& \mathrm{Im}(v)\\ |& |\end{array}\right)\text{ and }B=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{Re}(\lambda )& \mathrm{Im}(\lambda )\\ -\mathrm{Im}(\lambda )& \mathrm{Re}(\lambda )\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中$B$矩阵为rotation-scaling matrix。

为了证明矩阵$A$的分解公式成立，我们首先证明$C$是可逆的，即$\mathrm{Re}(v)$和$\mathrm{Im}(v)$是线性无关的。用反证法，假设$\mathrm{Re}(v)$和$\mathrm{Im}(v)$是线性相关的，则存在$x,y$，使得，$x\mathrm{Re}(v)+y\mathrm{Im}(v)=0$，则
$$\begin{array}{rl}(y+ix)v& =(y+ix)(\mathrm{Re}(v)+i\mathrm{Im}(v))\\ & =y\mathrm{Re}(v)-x\mathrm{Im}(v)+(x\mathrm{Re}(v)+y\mathrm{Im}(v))i\\ & =y\mathrm{Re}(v)-x\mathrm{Im}(v)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
$(y+ix)v$依然是属于特征值$\lambda$的特征向量，而从式(5)可以得到$(y+ix)v$是个实向量，而对于一个实矩阵的实特征向量对应的特征值一定是实的，但是和$\lambda$是复特征根矛盾，因此可证$\mathrm{Re}(v)$和$\mathrm{Im}(v)$是线性无关的。

此外，我们假设复特征值$\lambda =a+bi$，同时对应的特征向量为$v=\left(\begin{array}{c}x+yi\\ z+wi\end{array}\right)$，则有，
$$\begin{array}{rl}Av=\lambda v& =(a+bi)\left(\begin{array}{c}x+yi\\ z+wi\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}(ax-by)+(ay+bx)i\\ (az-bw)+(aw+bz)i\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}ax-by\\ az-bw\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{c}ay+bx\\ aw+bz\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
同时，
$$A\left(\left(\begin{array}{l}x\\ z\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}y\\ w\end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{l}x\\ z\end{array}\right)+iA\left(\begin{array}{l}y\\ w\end{array}\right)=A\mathrm{Re}(v)+iA\mathrm{Im}(v)\text{\hspace{1em}(7)}$$

比较式(6)和(7)，可以得到，
$$\mathrm{ARe}(v)=\left(\begin{array}{l}ax-by\\ az-bw\end{array}\right)\mathrm{AIm}(v)=\left(\begin{array}{l}ay+bx\\ aw+bz\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$

接下来我们计算$CB{C}^{-1}\mathrm{Re}(v)$，和$CB{C}^{-1}\mathrm{Im}(v)$，由(4)式可以马上得到$C{e}_1=\mathrm{Re}(v)$,$C{e}_2=\mathrm{Im}(v)$(自然基取对应的列)，则有

$$\begin{array}{rl}CB{C}^{-1}\mathrm{Re}(v)& =CB{e}_1=C\left(\begin{array}{c}a\\ -b\end{array}\right)=a\mathrm{Re}(v)-b\mathrm{Im}(v)\\ & =a\left(\begin{array}{l}x\\ z\end{array}\right)-b\left(\begin{array}{l}y\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}ax-by\\ az-bw\end{array}\right)=A\mathrm{Re}(v)\\ CB{C}^{-1}\mathrm{Im}(v)& =CB{e}_2=C\left(\begin{array}{l}b\\ a\end{array}\right)=b\mathrm{Re}(v)+a\mathrm{Im}(v)\\ & =b\left(\begin{array}{l}x\\ z\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{l}y\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ay+bx\\ aw+bz\end{array}\right)=A\mathrm{Im}(v)\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
因为$\mathrm{Re}(v)$和$\mathrm{Im}(v)$的线性无关的，可以组成${\mathbb{R}}^2$的基，对于任意的向量$w$，$w=c\mathrm{Re}(v)+d\mathrm{Im}(v)$，则有，
$$\begin{array}{rl}Aw& =A(\mathrm{cRe}(v)+d\mathrm{Im}(v))\\ & =\mathrm{cARe}(v)+dA\mathrm{Im}(v)\\ & =cCB{C}^{-1}\mathrm{Re}(v)+dCB{C}^{-1}\mathrm{Im}(v)\\ & =CB{C}^{-1}(c\mathrm{Re}(v)+d\mathrm{Im}(v))\\ & =CB{C}^{-1}w\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

因此$A=CB{C}^{-1}$。
对于$A$的带有rotation-scaling matrix的分解，我们可以这么理解，$A$中含有旋转和比例变换，矩阵$C$提供了变量代换，如$x=Cu$。$A$的作用相当于先将$x$代换为$u$，然后在$C$所形成的基下利用$B$矩阵进行旋转和缩放，旋转产生一个椭圆，然后将$u$再变量代换回$x$。注意，旋转是在$C$所形成的基下，即顺着$\mathrm{Re}(v)$和$\mathrm{Im}(v)$所形成的基旋转。

对于$n\times n$矩阵，都有类似上述$2\times 2$矩阵的分解形式，下面以$3\times 3$为列，如果矩阵$A$有一个实的特征值${\lambda }_2$，一个复特征值${\lambda }_1$，则$\overline{{\lambda }_1}$为另外一个复特征值，${\lambda }_2$对应的实特征向量为$v_2$，${\lambda }_1$对应的复特征向量为$v_1$，将$A$分解为$A=CB{C}^{-1}$,
$$C=\left(\begin{array}{ccc}|& |& |\\ \mathrm{Re}\left(v_1\right)& \mathrm{Im}\left(v_1\right)& v_2\\ |& |& |\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left({\lambda }_1\right)& \mathrm{Im}\left({\lambda }_1\right)& 0\\ -\mathrm{Im}\left({\lambda }_1\right)& \mathrm{Re}\left({\lambda }_1\right)& 0\\ 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(11)}$$
对于上述矩阵$A$，在${\mathbb{R}}^3$中存在某个平面$A$对平面的作用是旋转和缩放，该平面在$A$的作用下是不变的。
举一个例子，例如，
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0.8& -0.6& 0\\ 0.6& 0.8& 0\\ 0& 0& 1.07\end{array}\right]$$
上述矩阵$A$与式(11)中的矩阵形式相同，如下图所示，对于$x_1{x}_2$平面(第三坐标为0)的任一向量$w_0$被$A$旋转到该平面的另外一个位置上，不在该平面的任一向量$x_0$的第三坐标乘1.07。下图显示了$w_0=(2,0,0)$和$x_0=(2,0,1)$被$A$作用的迭代结果，$w_0$在$x_1{x}_2$平面旋转，而$x_0$在乘1.07后在旋转的同时也在盘旋上升。