Comet OJ 4266

题目描述

%   给定 $n$，求 $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}d(\gcd (i,j))$$

对 $10^9+7$ 取模的结果，其中 $d(x)$ 表示 $x$ 的约数个数。
  数据范围 $1⩽n⩽10^{12}$

题目描述

%   先枚举 $x=\gcd (i,j)$，然后莫比乌斯反演常规套路。
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}d((i,j))& =\sum _{x=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}d(x)[(i,j)=x]\\ & =\sum _{x=1}^n\sum _{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum _{j=1}^{\frac{n}{x}}d(x)\sum _{d|(i,j)}\mu (d)\\ & =\sum _{x=1}^{n}d(x)\sum _{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum _{j=1}^{\frac{n}{x}}\sum _{d|(i,j)}\mu (d)\\ & =\sum _{x=1}^{n}d(x)\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{n}{dx}{\rfloor }^2\\ & =\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}{\rfloor }^2\sum _{d|i}d(\frac{i}{d})\mu (d)\\ & =\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}{\rfloor }^2(d\ast \mu )(i)\end{array}$$

%   考虑到对于常函数 $1(n)=1$ 和单位函数 $ϵ(n)=[n=1]$，有 $1\ast \mu =ϵ,1\ast 1=d$，因而
$$(d\ast \mu )(i)=(1\ast 1\ast \mu )(i)=(1\ast ϵ)(i)=1(i)=1$$

%   因此有 $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}d((i,j))=\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}{\rfloor }^2$$

%   直接除法分块即可。

代码

%   由于 $n$ 的范围比较大，需要注意除法分块过程中不要忘记取模。

#include
using namespace std;
const long long mod=1000000007;
#define int long long
signed main(){
	int n,T;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--&&~scanf("%lld",&n)){
		int ans=0;
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
			r=n/(n/l);
			ans+=((n/l)%mod)*((n/l)%mod)%mod*((r-l+1+mod)%mod)%mod;
          ans%=mod;
		}
		printf("%lld\n",ans%mod);
	}
	return 0;
}