Gossip协议-推导运算分析

简介

Gossip协议又称传染病协议，因为gossip(流言)以类似于病毒的方式在计算机之间传播信息。

Gossip协议满足的条件

1. 协议的核心包括周期性，成对性，内部进程交互
2. 交互期间的信息量大小固定
3. 节点交互后，至少一个agent获知另一个agent的状态
4. 通信不可靠
5. 交流的频率远远低于消息的传输延迟
6. 对端选择的随机性，或者从全集，或者从部分集合
7. 由于副本的存在，传输的信息具有隐式冗余

Gossip协议举例

假设我们在一个网络中寻找一个pattern的最优匹配，机器上运行着agent 程序，这些agents实现了gossip协议

1. 用户首先要求local agent传播pattern
2. 每一个agent定期并以一定的速率（0.1秒一次）随机选择一个其他的节点传播此pattern。例如节点A和B，如果A知道了pattern，那么B也会知道，随后A和B随机选择了C和D继续传播此消息。因此即使发生节点故障或者消息丢失，此消息依然会在全网范围内传播。
3. 如果agent第一次收到此pattern，则开启本地查询，寻找本地的最优匹配
4. agents也传播其最优匹配。因此，如果A和B进行交互后，A和B都会知道最优匹配。最优匹配也会通过全网范围进行传播。
5. Log时间的复杂度，例如25000个节点，那么30轮就会结束，15轮进行pattern的传播，15轮询问最优匹配。

有偏Gossip协议

不是从全部节点中随机选择一个，考虑到网络延迟，从相邻的节点中随机选择，更高效。

为何是log时间

变量定义

初始$1$个人，全部$n$个人，一个人每次感染$b$个人，则感染率为$p=b/(n-1)$
令第$i$轮有$x_i$个人被感染，$n-x_i$未感染
则第$i+1$被感染的新的人数为$x_i\ast p\ast (n-x_i)$
即$x_{i+1}=x_i+x_i\ast p\ast (n-x_i)$，且$x_1=1$

证明

这$x_i$个人中每一个人能够感染的新人为： $b\ast (n-x_i)/(n-1)$
则一共$x_i$个人贡献的感染人数为： $x_i\ast b\ast (n-x_i)/(n-1)=x_i\ast p\ast (n-x_i)$
##推导$x_t$
一种方案是解通项公式，对$x_{i+1}$进行转换
$$\begin{gathered} x_{i+1}=A\ast x_i^2+B\ast x_i+C \\ =A(x_i-B/2A{)}^2+C-B^2/(4A) \\ 其中A=-pn,B=pn+1,C=0 \end{gathered}$$
令$x_i=a_i+B/(2A)$代入到上式中，则
$$\begin{gathered} a_{i+1}=P\ast a_i^2+Q \\ 且满足P=A,Q=(4AC-B^2+2B) \end{gathered}$$
于是现在的问题转换为如何解出$a_{i+1}$，然而我并没有想到很好的解法，不知道能否通过展开求级数？

另一种方案是采用微分方程的方式，然而并不完全可靠
一些简单的分析：
分析1： 由$x_{i+1}=x_i+1$，可推导出$x_{i+1}-x_i=1$，即$\frac{dy}{dt}=1$，从而可以解出$y=t$，即$x_t=t$。
分析2： 由$x_{i+1}=2\ast x_i$，可推导出$x_{i+1}-x_i=x_i$，
即$\frac{dy}{dt}=y$，从而可以解出$\ln y=t$，即$x_t=e^t$，然而实际上我们可以手动计算此通项，即$x_t=2^t$，这两个是不一样的，然而我们可以看出它们的指数是一样的$t$，仅仅是底数不同而已，同理，可使用其他类似的式子进行测试，它的总体指数趋势是不变的，变的仅仅是底数而已，于是我想当然的利用这一特性（个人感觉应该可行）！

由$x_{i+1}=x_i+x_i\ast p\ast (n-x_i)$，得$x_{i+1}-x_i=x_i\ast p\ast (n-x_i)$，故而$\frac{dy}{dt}=y\ast p\ast (n-y)$
对上次进行积分过程如下：
$$\begin{gathered} \frac{dy}{dt}=y\ast p\ast (n-y) \\ \frac{dy}{y\ast (n-y)}=p\ast dt \\ \frac{dy}{y}+\frac{dy}{n-y}=p\ast n\ast dt \\ 积分可得：\ln y-\ln n-y=p\ast n\ast t \\ \ln \frac{y}{n-y}=p\ast n\ast t \end{gathered}$$
当$n$非常大的时候，可令$y=n-1$，且$p\ast n\approx b,n\approx n-1$，则
$\ln n=b\ast t$，即$t=\frac{\ln n}{b}$，故而得出经过$\frac{\ln n}{b}$轮，有$n-1$个人被感染，也可认为全部被感染。
考虑到上面在转化为积分过程中，会有底数的不一致性，因此也就是时间复杂度为$c\log n$级别。