【微积分】曲线的长度

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youtube上的一个视频讲得非常好。 

https://www.youtube.com/watch?v=GIMJEUus0rU

先来一点比较感性的认识

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这里是一条空间的曲线。

那么 arc length 就是把它用小的直线进行近似，然后看看一共有多长。

当然，这只是感性地来理解。

基于这个感性的理解，会有和感性比较符合的严格的定义的。

Theorem

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注意，这里是一个 theorem，而不是 arc length 的定义。

arc  length 的定义将在这篇笔记的最后展现，不过，这个定义看起来是不好操作的。

所以才会有这个theorem，它是相当好操作的。

不过，这个定义注意到是基于 curve 的参数方程的。 

注意这里定义了一个 vector 叫做 velocity vector。 

这里其实是一个很重要的近似。

这意味着，在这个点附近的速度，都可以线性分解成为3个方向上的速度的和。 

这里当然就有一点  differentiable 的味道了。

length function & arc length reparameterization

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上面这个 length function很容易理解： 就是  a 到  t 处的 length。 

如果这个 velocity 在整个 curve上的 point处都是不为零的。

那么 s(t) 是 invertible的。

这是因为，如果velocity 不为零，那么 s(t) 将会是单调递增的函数，那么就一定是 invertible的。 

于是，就可以求出 s(t) 的 inverse function，进而，原来的 curve 也可以用 s 来表示：

最后补充 arc length - definition from wikipedia

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注意到这个定义要考虑所有可能的 partitions。

这是不好操作的。 

所以，才会有上面的 theorem ，那是比较好操作的。  

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