python数据结构与算法 29-1 哈希查找

前面的章节中，我们利用数据集中元素的相对位置信息来提高查找算法的性能。比如知道列表是有序的，可以使用二分查找。本节我们走得更远一些，创建一个数据结构，使得查找性能提高到O(1)，称为哈希查找。

要做到这样的性能，我们要知道元素的可能位置，如果每个元素就在他应该在的位置上，那么要查找的时候只需要一次比较得到有没有的答案，但下面将会看到，不是这么回事。

哈希表是这样一种数据集合，元素的保存的时候就存在容易找到位置上。哈希表表中每一个位置，一般称为槽位，每个槽位都能保存一个数据元素并以一个整数命名(从0开始)。这样我们就有0号槽位，1号槽位等等。起始时，哈希表里没有数据，槽位是空的。这样在构建哈希表的时候，可以把槽位值都初始化为None，图4显示一个大小为11的哈希表，或者是说有m个槽位的哈希表，m从0到10.

图中元素和保存的槽位之间的映射关系，称为哈希函数，哈希函数接受一个元素作为参数，返回一个0到m-1的整数作为槽位名。假如我们有一个整数集54，26，93，17，77和31，我们的第一个哈希函数就可以用“余数法”，简单地将元素除以表的大小，返回余数作为哈希值。(h(item)=item%11)，表4是上述整数集的哈希值。

Table 4: Simple Hash Function Using Remainders
Item	Hash Value
54	10
26	4
93	5
17	6
77	0
31	9

注意余数法一般以某种形式存于所有哈希函数中，因为它的结果一定在槽位范围内。

一旦哈希值计算出来，就要把元素插入到哈希表中指定的位置。如图5所示，注意6槽位和11槽位是空的，这就要引入满载因子的概念，一般表述为：

λ=元素数量/哈希表容量

这里，就是

λ=6/11

现在当我们要查找的时候，只要简单地用哈希函数计算出槽位值，然后到表中检查是否存在就可以了，这个查找动作是O(1),因为计算哈希值的时间，以及到表中查找的时间是个常数。如果每件东西都各守其位，我们就发现了一个常数级的查找算法。

也许你已经注意到，这个技术仅在每个元素对应一个位置时有效，例如，上面的例子中如果增加一个44，那么它的哈希值是0，但是77的值也是0，这时问题就出来了，2个值对应同一个槽位，这被称为“collision”，很明显，collision给哈希技术造成了困难，我们随后详细讨论。

哈希函数

对给定的数据集，哈希函数将每个元素映射为单个的槽位，称为“完美哈希函数”，如果我们知道元素和集合固定不变，那么构造一个完美哈希函数也许是可能的。坏消息是对一个任意数据集合，没有一个系统的方法来构造完美哈希函数，好消息是，哈希函数不完美也能提供不错的性能。

如果一定要完美的哈希函数，一种方法是做大哈希表，以保证每个元素都有自己的索引。虽然在数据不多的情况下可行，但是如果数据很大就不可行。比如，如果数据项是8位号码，这就需要十亿个槽位，要是我们仅仅用来保存25个学生的号码，就太费了。

我们的目标是：collision最少，计算简单，分布均匀。有几种扩展余数法的方案，下面讨论其中几个。

折叠法：这种方法把元素分成相等的几片（最后一片可能不相等），然后再把碎片拼起来作为哈希值。比如我们的数据项是号码436-555-4601，那么应该把号码分成2个一组，然后加起来，即43+65+55+46+01，得到210 。假设哈希表有11个槽位，那么再一步用11除210来得到槽位。即210%11=1，所以号码436-555-4601的哈希值是1 。有些折叠法多了一步，在相加之前，把数据位顺序反转，在上面的例子中，即 43+56+55+64+01=219 计算219 % 11=10。

另一种算法叫做“平方取中法”，先计算元素的平方值，再从中提取几位数字，例如，对元素44，先计算44²=1936，提取中间两位93，然后再取余数法，得到5（93%11=5）

Table 5: Comparison of Remainder and Mid-Square Methods 表5 余数法与平方取中法的比较
Item	Remainder	Mid-Square
54	10	3
26	4	7
93	5	9
17	6	8
77	0	4
31	9	6

对于字符类元素也能创建哈希函数，单词cat可以看成一个数字串

>>> ord('c')

99

>>> ord('a')

97

>>> ord('t')

116

我们把这三个数字加起来，用余数法计算哈希值。下面是一个计算字符串哈希值的函数：

Listing 1

defhash(astring, tablesize):

    sum=0

    for pos inrange(len(astring)):

        sum=sum+ord(astring[pos])

    returnsum%tablesize

有意思的是，上述算法中，相同字母不同顺序的单词得到的哈希值相等，解决办法是加上字母的位置作为重量。图7显示了使用位置作为重量因子，修改后的哈希函数作为练习。

你也可以思考几种计算哈希值的方法，但必须要记住，哈希函数必须要简单高效，不能成为计算的主要负担。如果哈希函数太复杂，计算槽位名的时间超过了简单的顺序查找或二分查找的时间，那么哈希函数还有什么意义呢？