2D高斯函数的可转向性

一阶方向导数的转向性

可转向函数是二维高斯方程的一阶方向导数。尽管我们仅考虑高斯方程，但可转向性原则可以扩展到任何可微函数。为了简化，忽略高斯函数中缩放常数：

先考虑一阶水平导数定义为：​

目标是证明方向导数是可转向的：即，在固定的一组方向上从同一函数的线性组合以任何方向合成。

在极坐标系中，和，则。

水平方向导数可表示为：

此函数是极性可分离的，即，它是径向（）分量和角度（）分量的乘积。

用旋转函数，将代入上式​，使用基本的三角恒等式，则有：

可知，上两式角度分量是不同的，径向分量是相同的。

同理，一阶垂直导数定义为：​

。

考虑一阶方向导被旋转到任意角度，将代入，使用基本的三角恒等式

一阶方向导数可以从定向为0和（和）函数的线性组合以任意定向合成。和是基础集，和是插值函数​。在极坐标中，任意方向的方向导数仅在其角频部分不同。角度组件是一个单频正弦。因此，角度分量的相移等于方向导数的旋转（例如，水平导数的角分量为，垂直导数的角部分为-的相移）。单个频率的正弦曲线具有两个自由度，即幅度和相位，因此毫不奇怪，它可以由大小为2的基本集完全表征。

方向导数的可转向性不取决于以0和  定向的基集的选择，可以在任意两个不同的方向上选择基集，从而仅导致不同的插值函数。特殊，在角度和​的基础集定义为

上式可以用矩阵表示法写作：

其中，，和

取向为任意角度的方向导数的角度分量可以用相同的基础集表示：

其中，

最后，结合上述两式，相应在方向角度和，可转向函数能表示为：

对于整数，当且仅当，是可逆的。