【我的理解】关系

定义

摘自《离散数学及其应用》9.2.1 定义1：

设A1、A2，……，An是集合。定义在这些集合上的n元关系是A1×A2×……×An的子集。这些集合A1、A2，……，An称为关系的域，n称为关系的阶。

我的理解

关系肯定说的是两个或两个以上对象之间的联系，所以至少得两个对象，一个对象是不能产生联系的。两个对象之间产生的联系就是 有序二元组，即有序对，也就是两个人之间那点事。如果是三个对象有联系，就是 有序三元组。如果是n个对象有联系，就是 有序n元组。为什么是必须是有序的呢？这是因为这n个对象必须满足某个谓词逻辑，才能满足指定关系。而谓词逻辑中个体不一定能交换位置，例如 a比b大3。如果满足此谓词逻辑，那么a所代表的对象就肯定比b所代表的对象大，反过来，b所代表的对象就一定比a所代表的对象小，所以b比a大3就不成立，也就不存在此关系。这些 n元组 组成的集合，就是关系R的元素，即所有满足这个谓词逻辑的n元组 组成的集合。

函数是一种描述两个对象之间联系的一种表示，所以函数也属于关系。

性质

自反

摘自《离散数学及其应用》9.1.4 定义3：

若对两个元素a∈A有(a,a)∈R，则R是定义在集合A上的自反关系。

我的理解

关系 a|a，可以想象集合A中的元素在照镜子，这样现实中的a与镜子中的a都具有同样的属性，所以如果现实中a今年3岁，则镜子中的a也是3岁。如果某个关系R描述的是年龄这个属性，例如 x今年y岁，那么现实中的a与镜子中的a就满足这个关系。也就是说自己和自己能满足这个谓词逻辑，就是自反关系。

对称

摘自《离散数学及其应用》9.1.4 定义4：

对于任意a，b∈A，若只要(a,b)∈R就有(b,a)∈R，则称定义在集合A上的关系R为对称。

我的理解

用量词进行定义，可得∀a∀b((a,b)∈R→(b,a)∈R)。 这句话的这样理解：“你对我好，我一定对你好。”这句话的关注的重点是“你对我好”，如果你对我不好，我对你好不好就要看我心情了。所以，一切看你的表现了。

通过图表现对称关系就是：两个点之间有两条方向相反的有向边。

反对称

对于任意a，b∈A，若(a,b)∈R且(b,a)∈R，一定有a=b，则称定义在集合A上的关系R为反对称。

我的理解

用量词进行定义，可得∀a∀b(((a,b)∈R∧(b,a)∈R)→a=b)。这个性质不好理解，特别是这个“反”字。我们知道“对称”的意思“你对我好，我对你好”，将这句话中的“我”改成“他”，变为“你对他好，他对你好”。把“反”理解为“反对”的意思，也就是“反对 你对他好，他对你好”，除非“你”和“他”指代的是同一个人，即只能自己对自己好。因为我吃醋，所以我反对你和他相爱。进一步，如果∀a∀b(((a,b)∈R∧(b,a)∈R)→a=b)成立，即a=b，有(a,a)∈R，(b,b)∈R，这又是自反关系。

通过图表现反对称关系就是：两个点之间不能有两条方向相反的有向边。

传递

摘自《离散数学及其应用》9.1.4 定义5：

若对于任意a，b，c∈A，(a,b)∈R并且(b,c)∈R则(a,c)∈R，那么定义在集合A上的关系R称为传递的。

我的理解

用量词进行定义，可得∀a∀b((a,b)∈R∧(b,c)∈R)→(a,c)∈R)。这个很好理解“他是你兄弟，你是我兄弟，我也把他当兄弟”。