每日一题(1)——滑雪问题(动态规划)

问题ID:POJ1088

滑雪
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Description

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪, 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度,滑的区域必须向下倾斜,而且当你滑到坡底,你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
 1  2  3  4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一,当且仅当高度减小。在上面的例子中,一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上,这是最长的一条。

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行,每行有C个整数,代表高度h,0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

 

解决这个问题网上两种方法:

1.是利用动态规划的变形

求解从每个点出发的最长路径长度,

求解从每一个出发点最长路径过程就是一个不断求最优解的过程。

关键就是理解动态规划和递归的关系!

[cpp]  view plain copy print ?
  1. #include   
  2.   
  3. using namespace std;  
  4.   
  5. int data[102][102], longest[102][102];  
  6. int m,n;  
  7.   
  8. int cal(int i, int j)  
  9. {  
  10.     int max = 0;//保存周围节点的最大长度,最优子问题的变形;  
  11.     if (longest[i][j] > 0)   
  12.         return longest[i][j];  
  13.     if ( i-1>=0 && data[i][j]>data[i-1][j] && max
  14.         max = cal(i-1,j);  
  15.     if ( j-1>=0 && data[i][j]>data[i][j-1] && max
  16.         max = cal(i,j-1);  
  17.     if( i+1data[i+1][j] && max
  18.         max = cal(i+1,j);  
  19.     if( j+1data[i][j+1] && max
  20.         max = cal(i,j+1);  
  21.     return longest[i][j] = max+1;  
  22.   
  23. }  
  24.   
  25.   
  26.   
  27. int main()  
  28. {  
  29.     int i,j;  
  30.     int maxway = 0;  
  31.   
  32.     cin>>m>>n;  
  33.     for (i=0; i
  34.         for (j=0; j
  35.         {  
  36.             cin>>data[i][j];  
  37.             longest[i][j] = 0;  
  38.         }  
  39.     for(i=0; i
  40.         for (j=0; j
  41.         {  
  42.             longest[i][j] = cal(i,j);  
  43.             if(maxway
  44.                 maxway = longest[i][j];  
  45.         }  
  46.     cout<
  47. }  


 

2.利用深度优先遍历,其实和方法1. 是一样的,

两种方法其实是一样的,第二种方法需要额外的多一些空间,计算容易出错,第一种方法比较好。

[cpp]  view plain copy print ?
  1. #include   
  2.   
  3. using namespace std;  
  4.   
  5. int data[102][102], longest[102][102];  
  6. int m,n;  
  7.   
  8.   
  9. int max4(int a, int b, int c, int d)  
  10. {  
  11.     if(a
  12.     if(a
  13.     if(a
  14.     return a;  
  15. }  
  16.   
  17. int dft(int i ,int j, int height)  
  18. {  
  19.     if( data[i][j]==-1|| height<=data[i][j]) return 0;  
  20.     if (longest[i][j] > 0)  
  21.         return longest[i][j];  
  22.     longest[i][j] = max4(dft(i-1, j, data[i][j]), dft(i,j-1,data[i][j]), dft(i+1,j,data[i][j]), dft(i,j+1,data[i][j]))+1 ;  
  23.     return longest[i][j];  
  24. }  
  25.   
  26. int main()  
  27. {  
  28.     int i,j;  
  29.     int maxway = 0;  
  30.   
  31.     memset(longest, -1, sizeof(longest));  
  32.     memset(data, -1, sizeof(data));  
  33.   
  34.     cin>>m>>n;  
  35.     for (i=1; i!=m+1; i++)  
  36.         for (j=1; j!=n+1; j++)  
  37.         {  
  38.             cin>>data[i][j];  
  39.         }  
  40.     for(i=1; i!=m+1; i++)  
  41.         for (j=1; j!=n+1; j++)  
  42.         {  
  43.             longest[i][j] = dft(i,j,data[i][j]+1);  
  44.             if(maxway
  45.                 maxway = longest[i][j];  
  46.         }  
  47.     cout<
  48. }  

 

这道题关键就是递归调用子函数的最优解。在本题中就是使用小于当前高度的邻接点的最长路径。

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