UVA1069 Always an integer

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https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3510

题解

如果$f(x),x\in N_{+}$是$D$的倍数，那么可以等价为$f(1)$为$D$的倍数且$f(x+1)-f(x),x\in N_{+}$为$D$的倍数
假设多项式的最高次数为$k$，当$k=0$时只需要验证常数项是不是$D$的倍数
当$k=1$时，该式可以写成$f(x)=kx+b$，只需要验证$f(1),f(2)-f(1)$是不是$D$的倍数，即验证$f(1),f(2)$是不是$D$的倍数
当$k=2$时，需要验证$f(1)$和$f(n+1)-f(n)$是不是$D$的倍数，假设$f(1)$是$D$的倍数，那么只需要验证$f(2)-f(1),f(3)-f(2),f(4)-f(3)......$是不是$D$的倍数，即验证$f(2),f(3),f(4)...f(n),n\ge 2$是不是$D$的倍数，那么这又回到了$k=1$的子问题，只需要验证前两项$f(2),f(3)$即可
当$k=3$时，验证完$f(1)$是$D$的倍数后，同样会回到$k=2$的子问题，最终仅需验证$f(1),f(2),f(3),f(4)$
所以最后发现我只需要验证$f(1),f(2),...,f(k+1)$即可

代码

//数学题
#include 
#define ll long long
#define maxn 110
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
ll c[maxn], e[maxn], tot, D;
ll fastpow(ll a, ll b)
{
	ll t=a, ans=1;
	for(;b;b>>=1,t=t*t%D)if(b&1)ans=ans*t%D;
	return ans;
}
bool init()
{
	cl(c), cl(e), tot=0;
	char s[100000];
	ll i, j, k, p, x, f;
	scanf("%s",s+1);
	if(s[1]=='.')return false;
	if(s[2]!='-')s[1]='+';
	p=1;
	while(1)
	{
		for(;s[p]!='+' and s[p]!='-' and s[p]!=')';p++);
		for(x=0,i=p+1;isdigit(s[i]);i++)x=(x<<1)+(x<<3)+s[i]-48;
		if(s[i]==')')
		{
			c[++tot]=x;
			e[tot]=0;
			p=i; 
			break;
		}
		tot++;
		f=s[p]=='-'?-1:1;
		if(!x)x=1;
		c[tot]=f*x;
		p=i+1;
		if(s[p]=='^')
		{
			for(i=p,x=0;isdigit(s[i+1]);i++)x=(x<<1)+(x<<3)+s[i+1]-48;
			e[tot]=x;
			p=i+1;
		}
		else e[tot]=1;
		if(s[p]==')')break;
	}
	for(;!isdigit(s[p]);p++);
	for(D=0;isdigit(s[p]);p++)D=(D<<1)+(D<<3)+s[p]-48;
	return true;
}
ll f(ll x)
{
	ll i, ans=0;
	for(i=1;i<=tot;i++)ans=(ans+c[i]*fastpow(x,e[i]))%D;
	return (ans+D)%D;
}
bool judge()
{
	ll i, j, k=e[1];
	for(i=1;i<=k+1;i++)if(f(i))return false;
	return true;
}
int main()
{
	ll i, j, kase=0;
	while(init())
	{
		printf("Case %lld: ",++kase);
		if(judge())printf("Always an integer\n");
		else printf("Not always an integer\n");
	}
	return 0;
}