NKOJ 3616(CQOI 2016) 伪光滑数（暴力堆/可持久化可并堆+dp）
> P3616【CQOI2016 Day2】伪光滑数
问题描述
若一个大于1的整数M的质因数分解有k项，其最大的质因子为 ak ，并且满足 akk ≤N， ak <128，我们就称整数M为N-伪光滑数。
现在给出N，求所有整数中，第K大的N-伪光滑数。
输入格式
输入文件内容只有一行，为用空格隔开的整数N和K。
输出格式
输出文件内容只有一行，为一个整数，表示答案。
样例输入
12345 20
样例输出
9167
数据范围：
对于30%的数据，N≤ 106 ；
对于60%的数据，K≤ 105 ；
对于100%的数据，2≤N≤ 1018 ，1≤K≤8* 105 ，保证至少有K个满足要求的数。
*算法一：贪心（暴力）+堆*
观察题目，很容易想到可以将数分类，按照最大素因子来分类，如果最大素因子确定，那么最多可以有多少项也就确定了，因此，一个显然的贪心是，尽量取大的素数构造出来的数肯定是最大的。因此，先弄一个素数表，先把满足条件的素数的最大的次方加入一个大根堆，每次取出堆顶后，构造比他小的且最接近他的数，即除去一个最大素因子，再乘上一个比他小的素数。K-1次操作后取堆顶即可。
代码：
#includeQ;
ll n,k;
ll A[32]={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127};
int main()
{
ll i,t;node tmp,ttp;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(i=1;i<32;i++)
{
t=1;
while(t*A[i]<=n)t*=A[i];
tmp.x=A[i];tmp.p=i;tmp.v=t;
Q.push(tmp);
}
while(--k)
{
tmp=Q.top();
Q.pop();
ttp=tmp;
if(tmp.v%tmp.x==0)
{
for(i=0;iwhile(Q.top().v==tmp.v)Q.pop();
}
cout< 算法二：可持久化可并堆+dp
这里先说明一个很简单思想，如果我们要解决求很大的数据中的第K大或第K小之类的问题，如果可以将这些数据归类，并且每一类数可以用一个堆来装起来，那么可以将这些堆放到一个全局堆中来维护，这样就可以解决问题了。
实际上，在上一个算法中，我们也是用的这样的方式来实现的，但是并没有将每一个堆实际上开出来，而是由于我们可以很直接的得到恰比某个数小的另一个数，所以采用了暴力枚举来替代堆。
因此，算法一实际上优于算法二。
算法二的核心在于，我们可以将数归类，用F[i,j]表示最大质因数为p[i]，可以分解成j项的数的集合，利用dp的手段我们可以递推的来将所有的F[i,j]算出来，为了实现，令G[i,j]表示F[i,j]的前缀和，于是
f[i,j]=∑jk=1g[i−1,j−k]∗p[i]k
g[i,j]=g[i−1,j]+f[i,j]
而这里的集合显然可以用可持久化可并堆来维护，于是就可以将所有的F集合全部算出来，并且每一个都是大根堆，最后从全局堆取答案即可。
PS：实际上可以看出，算法二并不如算法一优秀，但是，如果遇到不能够很方便的将恰比某元素小的数找出来的话，算法二就有意义了。
代码，等学会了可持久化可并堆之后补上作为练习。