HDU 5794 A Simple Chess （容斥原理+Lucas定理+dp）

A Simple Chess

问题描述

有一个n*m棋盘，一枚棋子要从(1,1)格子移动到(n,m)格子。
该棋子能从坐标为(x1,y1)的格子跳到格子(x2,y2),当且仅当:

(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5 x2>x1，y2>y1

棋盘上有r个格子有障碍物，棋子不能落到有障碍物的格子上。
请你计算，该棋子从起点到达终点总共有多少种方案。

输入格式

有若干组数据(<=25组)，对于每组数据，格式如下：
一行，三个整数n，m，r
接下来r行，每行两个整数，表示一个有障碍物的格子的坐标。

输出格式

对于每组数据，输出一行，一个整数，表示所求方案数。mod 110119

样例输入 1

1 1 0
3 3 0
4 4 1
2 1
4 4 1
3 2
7 10 2
1 2
7 1

样例输出 1

1
0
2
1
5

样例输入 2

58939239 79926962 4
28255565 36535194
51497377 67322260
48931736 62290476
23383627 30097072

样例输出 2

9061

提示

对于100%的数据：1≤n,m≤10^18 , 0≤r≤100
(1,1)格子不会有障碍。

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为了方便，将题目中的 x,y x , y 坐标都减一，变成从 (0,0) ( 0 , 0 ) 到 (n−1,m−1) ( n − 1 , m − 1 )

如果不考虑障碍，那么从 (0,0) ( 0 , 0 ) 到 (x,y) ( x , y ) 的方案数是一个组合数，这个比较好推，就是 C2x−y3x+y3 C x + y 3 2 x − y 3 ，注意到 (x,y) ( x , y ) 可以到达当且仅当 x+y≡0 mod 3 x + y ≡ 0   m o d   3

障碍数比较小，考虑容斥，令 F[i] F [ i ] 表示从 (1,1) ( 1 , 1 ) 出发，经过的第一个障碍是第 i i 个障碍，那么对于每一个在 i i 左下角的障碍 j j ，

F[i]=C2xi−yi3xi+yi3−∑jF[j]×C2tx−ty3tx+ty3,tx=xi−xj,ty=yi−yj F [ i ] = C x i + y i 3 2 x i − y i 3 − ∑ j F [ j ] × C t x + t y 3 2 t x − t y 3 , t x = x i − x j , t y = y i − y j

直接写个记忆化搜索，暴力枚举那些点在左下方就行了。
组合数用 Lucas L u c a s 处理，预处理阶乘和逆元，注意到 2x−y 2 x − y 可能小于 0 0 ，此时也意味着走不到，因此要返回 0 0
另外还需要注意如果终点是障碍，那么答案也是 0 0

总时间复杂度 O(n2×???) O ( n 2 × ? ? ? ) ，还是很快。

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代码：

#include
#include
#include
#include
#define N 105
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=110119;
ll n,m,r,F[N],X[N],Y[N],fac[110220],inv[110220];
bool mark[N];
ll C(ll a,ll b)
{
    if(areturn 0;
    return fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
ll Lucas(ll a,ll b)
{
    if(areturn 0;
    if(a<0||b<0)return 0;
    if(b==0||a==0)return 1;
    return Lucas(a/mod,b/mod)*C(a%mod,b%mod)%mod;
}
ll DP(ll p)
{
    ll i,j;
    if(F[p]!=-1)return F[p];
    if(mark[p])return F[p]=0;
    F[p]=Lucas((X[p]+Y[p])/3,(2*Y[p]-X[p])/3);
    for(i=1;i<=r;i++)
    if(X[i]if(mark[i])continue;
        F[p]-=DP(i)*Lucas((X[p]+Y[p]-X[i]-Y[i])/3,(2*(Y[p]-Y[i])-X[p]+X[i])/3)%mod;
        F[p]%=mod;
    }
    F[p]+=mod;F[p]%=mod;
    return F[p];
}
int main()
{
    ll i,j,k,x,y;bool f;
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(i=2;i<=mod;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }
    for(i=2;i<=mod;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&r)!=EOF)
    {
        f=0;
        for(i=1;i<=r;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&X[i],&Y[i]);
            if(X[i]==n&&Y[i]==m)f=1;
        }
        if(f){puts("0");continue;}
        for(i=1;i<=r;i++)X[i]--,Y[i]--;
        X[++r]=n-1;Y[r]=m-1;
        for(i=1;i<=r;i++)mark[i]=(X[i]+Y[i])%3!=0;
        memset(F,-1,sizeof(F));
        printf("%lld\n",DP(r));
    }
}