一个有趣的组合恒等式证明(复旦数学考试第7题)

试证: ∑j+k=n0⩽j<k⩽n(2jj)(2kk)=4n. ∑ j + k = n 0 ⩽ j < k ⩽ n ( 2 j j ) ( 2 k k ) = 4 n .
证明1:
考虑一个母函数 f(x)=11−4x=((1−4x)−12)2 f ( x ) = 1 1 − 4 x = ( ( 1 − 4 x ) − 1 2 ) 2 (观察左式,它是一个卷积形式,因而如此构造).
11−4x=∑n=0∞4nxn 1 1 − 4 x = ∑ n = 0 ∞ 4 n x n ,且:
((1−4x)−12)2==∑n=0∞(∑j+k=n(−12j)(−12k))(−4x)n=∑n=0∞(∑j+k=n(2j−1)!!2jj!(2k−1)!!2kk!)(4x)n∑n=0∞(∑j+k=n(2jj)(2kk))xn. ( ( 1 − 4 x ) − 1 2 ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ j + k = n ( − 1 2 j ) ( − 1 2 k ) ) ( − 4 x ) n = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ j + k = n ( 2 j − 1 ) ! ! 2 j j ! ( 2 k − 1 ) ! ! 2 k k ! ) ( 4 x ) n = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ j + k = n ( 2 j j ) ( 2 k k ) ) x n .
比较得 ∑j+k=n(2jj)(2kk)=4n. ∑ j + k = n ( 2 j j ) ( 2 k k ) = 4 n .

PS:(1−4x)−12=∑n=0∞(−12n)xn,(∑j=0∞ajxj)⋅(∑k=0∞bkxk)=∑n=0∞(∑j+k=najbk)xn. PS: ( 1 − 4 x ) − 1 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 2 n ) x n , ( ∑ j = 0 ∞ a j x j ) ⋅ ( ∑ k = 0 ∞ b k x k ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ j + k = n a j b k ) x n .
证明2(大佬的证明):
考虑 n n 个展览选四个汉堡(分别是牛排生菜,牛排黄瓜,炸鸡生菜,炸鸡黄瓜汉堡)的方案数,那么一共有 4n 4 n 种.
设生菜展览有 n n 个,黄瓜展览有 n n 个,则炸鸡从 t t 个生菜展览和t个黄瓜展览组成的集合里选 t t 个展览,组成炸鸡生菜展览,炸鸡黄瓜展览;牛排从剩下 n−t n − t 个生菜展览和 n−t n − t 个黄瓜展览组成的集合里选 n−t n − t 个,组成牛排生菜展览或牛排黄瓜展览.事实上,这和n个展览里有炸鸡生菜,炸鸡黄瓜,牛排生菜,牛排黄瓜展览是等同的(可以想象如果生菜展览和黄瓜展览没被选上,就意味着它们的汉堡里只有菜,谁吃？关停了.所以相当于他们自始至终都没有开展览.剩下来的自然就是完美的汉堡展览啦),所以两者计数等同.