2017北大数学夏令营第一天第二题的解答

2017北大夏令营,day1,T2

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题目

　　求一切正实数数列 {ak} ，满足 a2k=kak+1 ，使得存在无限个 k ，令 ak<2k 成立。

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分析

　　
　　首先，如果这个递推初始值稍微大一点，就可以忽略常数项，就会产生变成 a2k 增长，如果初始值太小，就会直接到后面变成负数，所以很可能只有唯一一个解或者无解，不然只能有无限个解（不太可能）。
　　所以猜对初始值非常关键，那么符合题意的初始值可能成为本数列的为数不多的闭合解之一。因为我好久没做题了，所以费了点功夫，如果经常在做函数方程的同学，一下子可以看出闭合解可能是一次多项式，然后就可以猜到答案。再反证明初始值唯一就可以了，使用不等式放缩即可，因为这个递推式对初始值非常敏感，所以不难用不等式导出矛盾。

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解答

　　容易知道 ak=k+1 是一个符合条件的解，下证这是唯一解。
　　
　　否则 a1≠2 ，设 ak=k+1+bk，b1≠0 ，归纳知 bk≠0
　　代入有 (k+1+bk)2=1+k(k+2+bk+1)
　　即 bk+1bk=bkk+2+2k

　　若 a1<2
　　则由 a2k=kak+1>1 知， ak>1 ，即 −k<bk
　　又由归纳法可知 ak<k+1 ，即 bk<0
　　故 bk+1bk=bkk+2+2k>1+2k
　　即 bk+1b1>k+2kk+1k−1...31=(k+2)(k+1)2
　　即 0<ak+1=k+2+bk+1<(k+2)(1+k+12b1)
　　当 k>−2b1−1 时，这个不等式不成立，矛盾。
　　
　　若 a1＞2
　　由归纳法可知 ak＞k+1 ，即 bk＞0
　　故 bk+1bk=bkk+2+2k>2（1+1k）
　　即 bk+1b1>2k(k+1)
　　即 2k+1>ak+1=k+2+bk+1>k2kb1
　　当 k>2b1 时，这个不等式不成立，与无限多项成立矛盾。
　　
　　综上， a1=2 ，归纳知 ak=k+1