解非齐次线性方程

解非齐次线性方程

an=c1an−1+c2an−2+⋯+ckan−k+F(n)
1.先解相伴齐次线性方程:
a(h)n=c1an−1+c2an−2+⋯+ckan−k
得到 an 的解
2.解特解:
设 F(n)=(btnt+bt−1nt−1+⋯+b1n+b0)sn
分两种情况:
α. 当s不是相伴齐次线性方程的解,则特解形式为:
a(p)n=(ptnt+pt−1nt−1+⋯+p1n+p0)sn
β. 当s是相伴齐次线性方程的解(重数为m),则特解形式为:
a(p)n=nm(ptnt+pt−1nt−1+⋯+p1n+p0)sn
3.再将 a(p)n 代入原方程解出所有 pi 的解
4.解出 an 的通解: an=a(h)n+a(p)n
5.如果题目给出了 a0,a1,… 的解可以代入求解 α
//参考与离散数学–高级计数技术(P414)

例: an=7an−1−16an−2+12an−3+n4n 所有的解,其中 a0=−2,a1=0,a2=5
1. r3−7r2+16r1−12r0=0
得 r1=3,r2=r3=2
∴a(h)n=α13n+(α2n+α3)2n
∵r1=3,r2=r3=2,s=4, 属于第一种情况
∴a(p)n=(p1n+p2)4n
解 :a(p)n=7a(p)n−1−16a(p)n−2+12a(p)n−3+n4n
得: p1=16,p2=80
∴a(p)n=(16n−80)4n
∴an=a(h)n+a(p)n=α13n+(α2n+α3)2n+(16n−80)4n
∵ 题目给出 a0=−2,a1=0,a2=5
∴ 将n=0,1,2代入 an
解出: α1=61,α2=39/2,α3=17
即: an=17∙2n+39n∙2n−1+61∙3n+(16n−80)4n