插头DP学习小结

插头dp一般可以解决一类需要记录联通状态的题目（比如一个棋盘求满足某某条件的路径等）。

定义

插头

一个格子如果与它正上方的格子联通，则有一个上插头，下左右亦然。

轮廓线

我们解决问题的时候，一般是外循环从上到下枚举，第二重循环从左到右枚举。那么当决策到(i,j)时，轮廓线就是(i,1)—(i,j-1)的下方，(i,j-1)的右方和(i-1,j)—(i-1,m)连接成长度m+1的线，在这里记录的状态是m个下插头和一个右插头。//懒得配图了

例题

题目：ural1519
题意：给定一个n*m的格子图(n,m≤12)，有一些格子是障碍。问有多少条哈密顿回路经过所有非障碍格子。
从这道题开始可以很好地理解插头DP

状态

记录的状态就是轮廓线上插头的情况。
首先插头可能存在或不存在。
接着由于是回路，插头是会可以配对的。也就是一个插头会对应另一个插头。由于两条现有的路径不会相交，插头可以用括号序表示。例如#(#())，表示第1、3个位置没有插头，第2、6，第4、5位置的插头配对。
这样子状态可以看成是3进制的。（最好用4进制来表示，可以用位运算来优化后面的一些操作）。

转移

决策当前格子(i,j)时，轮廓线上只有一个右插头、一个下插头有用。

两个插头不存在时

那么这个格子一定会伸出一个右插头、一个下插头，相当于形成一个新的路径，即把##变成()

只存在一个插头

假如只有右插头。
那么这个格子必然存在一个左插头，另一个插头可以是下、右插头。会多出两个状态，对应的括号类型不变。
只有下插头的情况类似。

两个插头

那么这个格子必然存在左插头和上插头。这就相当于把这两个插头对应的路径合并。又要分类讨论了。
如果是((，那么右边的(对应的)就变成了(，这个画个图就很显然了。))亦然。
如果是)(，只用把这两个括号变成##
如果是()，那么就形成了一个回路。在这道题里只有在最后一个格子才能这样合并。

一些优化

看起来状态有 312 ，但是由于括号序的性质，有用的状态远小于这个数字。而且每一个(i,j)不一定把所有有用状态都扩展出来，所以可以打个哈希存状态。
另外状态可以从3进制变成4进制，这样在改变状态中某一位时可以用二进制运算来加速。

其它类型的问题

简单提一下可以用插头DP解决的其它问题。
如果题目改成哈密顿路径，那么会存在两个点的度数为1（即插头数为1），其它都为2。那么要记录一种独立存在的插头（表示路径的一端）。那么就会用4种状态。

还有像多米诺骨牌覆盖的题目也可以用插头DP做，如果骨牌横着放，就会有左右插头，否则是上下插头。讨论一下即可。

一些其它例题

bzoj3125 CITY
51nod1142棋子遍历棋盘
51nod1411 矩阵取数问题 V3

总结

插头DP一般在遇到类似格子图的问题，并且求的东西和路径有关，数据范围又不大（一般最多在十几）时可以考虑。
对于各种插头DP题目，状态的储存，4进制位的提取或修改都是基本一样的。不一样的在于设的状态，以及情况的讨论。这个要看题目怎么出。
细节、边界条件一定要注意！！！！
码量不小，但是思路其实挺清晰。如果比较熟悉，并且有足够的时间debug，在考场上可以勇敢地码。

贴上ural1519的代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int maxn=128483;

typedef long long LL;

int n,m,p,q,ex,ey;

char map[13][13];

struct node
{
    int H[maxn],tot,st[maxn];
    LL s[maxn];
    void init()
    {
        memset(H,255,sizeof(H));
        tot=0;
    }
    void add(int S,LL v)
    {
        int i=S%maxn;
        for (;H[i]>=0 && st[H[i]]!=S;i=(i+1)%maxn);
        if (H[i]<0)
        {
            st[tot]=S; s[tot]=v; H[i]=tot++;
        }else s[H[i]]+=v;
    }
}f[2];

int Get(int s,int w)
{
    return (s>>(w<<1))&3;
}

void Set(int &s,int w,int v)
{
    s^=Get(s,w)<<(w<<1);
    s^=v<<(w<<1);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0;iscanf("%s",map[i]);
        for (int j=0;jif (map[i][j]=='.')
        {
            ex=i; ey=j;
        }
    }
    p=0; q=1;
    f[p].s[0]=1; f[p].tot=1;
    for (int i=0;ifor (int j=0;j1,q^=1)
        {
            f[q].init();
            if (map[i][j]=='*')
            {
                for (int k=0;kint st=f[p].st[k]; LL s=f[p].s[k];
                    if (!Get(st,j) && !Get(st,j+1)) f[q].add(st,s);
                }
                continue;
            }
            for (int k=0;kint st=f[p].st[k],x=Get(st,j),y=Get(st,j+1);
                LL s=f[p].s[k];
                if (!x)
                {
                    if (!y)
                    {
                        if (j==m-1) continue;
                        Set(st,j,1); Set(st,j+1,2);
                        f[q].add(st,s);
                    }else
                    {
                        if (j1) f[q].add(st,s);
                        Set(st,j+1,0); Set(st,j,y);
                        f[q].add(st,s);
                    }
                }else if (!y)
                {
                    f[q].add(st,s);
                    if (j==m-1) continue;
                    Set(st,j,0); Set(st,j+1,x);
                    f[q].add(st,s);
                }else
                {
                    Set(st,j,0); Set(st,j+1,0);
                    if (x==1)
                    {
                        if (y==1)
                        {
                            for (int k=j+2,t=1;;k++)
                            {
                                if (Get(st,k)==1) t++;
                                else if (Get(st,k)==2)
                                {
                                    t--;
                                    if (!t)
                                    {
                                        Set(st,k,1);
                                        f[q].add(st,s);
                                        break;
                                    }
                                }
                            }
                        }else if (i==ex && j==ey) f[q].add(st,s);
                    }else
                    {
                        if (y==1) f[q].add(st,s);else
                        {
                            for (int k=j-1,t=1;;k--)
                            {
                                if (Get(st,k)==2) t++;
                                else if (Get(st,k)==1)
                                {
                                    t--;
                                    if (!t)
                                    {
                                        Set(st,k,2);
                                        f[q].add(st,s);
                                        break;
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        for (int j=0;j2;
    }
    for (int i=0;iif (f[p].st[i]==0)
    {
        printf("%lld\n",f[p].s[i]); return 0;
    }
    printf("0\n");
    return 0;
}