积性函数的性质及证明 + 线性筛

引言

在数论问题中，积性函数有着广泛的应用。
如在莫比乌斯反演问题中，函数变换之后如何快速维护前缀和往往是最重要也是最难的一步。如果维护的函数具有积性，那就可以尝试利用线性筛在$O(n)$的时限内完成预处理，从而达到优化复杂度的神奇作用。
本文的大部分相关性质及公式来自：《线性筛与积性函数》- 贾志鹏
博主将试着证明其中的性质公式，严谨性可能欠缺，其目的主要是帮助大家理解并记忆。

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积性函数的定义和性质

定义： 对于一个定义域为$N^{+}$的函数$f$，对于任意两个互质的正整数$a,b$，均满足$f(ab)=f(a)f(b)$，则称函数$f$为积性函数
若对于任意整数$a,b$都有$f(ab)=f(a)f(b)$，则函数$f$被称为完全积性函数。

性质：
(1)对于任意积性函数$f$，均有$f(1)=1$

证明：因$1$与任何数都互质，假设存在一个正整数$a$满足$f(a)!=0$，故由定义：$$f(a)=f(1\ast a)=f(1)f(a)$$
因$f(a)$不为$0$，故等号两端同时消去一个$f(a)$，得：
$$f(1)=1$$
证毕。

(2)对于一个大于$1$的正整数N，设$N=\prod p_i^{a_i}$，$p_i$为互不相同的素数。那么对于一个积性函数$f$来说，有：
$$f(N)=f(\prod p_i^{a_i})=\prod f(p_i^{a_i})$$
若$f$完全积性，则$$f(N)=\prod f(p_i{)}^{a_i}$$

证明：由积性和完全积性的定义易得。

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欧拉函数$\phi$

定义：对于正整数$n$，$\phi (n)$是小于n的正整数中与n互质的个数。

定义式：若$n=\prod p_i^{a_i}$
$$\phi (n)=n\prod (1-\frac{1}{p_i})$$

性质：
(1)欧拉函数为积性函数，而不是完全积性函数。

证明：设两个互质的正整数$n,m$
则：
$\phi (n)=n\prod (1-\frac{1}{p_i})$
$\phi (m)=m\prod (1-\frac{1}{p_i^{\prime }})$
$\phi (n)\phi (m)=n\prod (1-\frac{1}{p_i})m\prod (1-\frac{1}{p_i^{\prime }})=nm\prod (1-\frac{1}{p_i})(1-\frac{1}{p_i^{\prime }})$
因$n,m$互质，故 $p_i,p_i^{\prime }$ 各不相同，且均为$nm$的质因子。

故推出：
$\phi (nm)=\phi (n)\phi (m)$
积性函数性质得证。
而完全积性由上证明可见，$n,m$互质是一个严格且不可或缺的条件，可见，欧拉函数不是完全积性函数。

(2)假设存在一个素数$p$和一个正整数$k$，则：$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$
证明：

可以从反面来思考这件事，在小于$p^k$且与其不互质的数有以下形式：
$p\ast 1,p\ast 2,...p\ast (p^{k-1}-1)$(因为p是唯一的质因子)

故由定义：$\phi (p^k)=$总数 - 不互质的数 = $(p^k-1)-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}$
证毕。

另外还可以从定义式出发去理解这个结论。
$$\phi (p^k)=p^k(1-\frac{1}{p})=p^k-p^{k-1}$$

(3)欧拉定理：若有互质的两个正整数$a,n$，则有$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$
此定理常用来求解逆元。

证明：（可参考百度百科）

(4)假设存在一个正整数n，则：${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$

证明：
先考虑特殊情况: $n=1$时 $\phi (1)=1$ 显然成立
对于一般情况，$n$一定可以质因数分解为：$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_k^{a_k}$

当n只含一个质因子时，即$n=p^a$
有：
$$\sum _{d|n}\phi (d)=\sum _{i=0}^a\phi (p^i)=1+\sum _{i=1}^a(p^i-p^{i-1})=1+\sum _{i=1}^a(-p^{i-1}+p^i)$$

显然，将求和式展开，会有一些项可以合并。
比如$a=3$时，原式等于：$$1-p^0+p^1-p^1+p^2-p^2+p^3=p^3$$
可见：
$$\sum _{d|n}\phi (d)=\sum _{i=0}^a\phi (p^i)=p^a=n$$

当$n$含多个质因子时，即$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_k^{a_k}$
利用积性函数的性质有
$$\sum _{d|n}\phi (d)=\sum _{i=0}^{a_1}\phi (p_1^i)\sum _{i=0}^{a_2}\varphi (p_2^i)......\sum _{i=0}^{a_k}\phi (p_k^i)$$

同上易得：
$$原式=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}......p_k^{a_k}=n$$
证毕。

(5)当$n>1$，小于$n$且与$n$互质的数之和为$$sum=\frac{n\phi (n)}{2}$$

证明：在数论求$gcd$中，有两个非常出名的公式，基于这两个公式，出现了两种快速求$gcd$的方法，更相减损法和辗转相除法。这两个公式是：(假设有两个正整数$a,b$且满足 $a>b$)
$gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$ 和 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

由第一个公式，知：
若$m$与$n$互质，则$n-m$也一定与$n$互质。
这样就能将保证当$n>2$时，$\phi (n)$一定为偶数，且可两两配对，每一对的和都是$n$。
故$$sum=n\frac{\phi (n)}{2}$$
当$n=2$时，代入验证知，此公式依然满足。

证毕。

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例题：HDU 3501
题意：求小于n且与n不互质的数之和。
思路：直接利用公式求反面，总数 - 反面数即为答案。
代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod = 1000000007;
const int A = 1e5 + 10;
bool vis[A];
int pri[A],tot;

void init(){
    tot = 0;
    vis[0] = vis[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(vis[i] == 0) pri[++tot] = i;
        for(int j=1 ;j<=tot&&pri[j]*i<A ;j++){
            vis[pri[j]*i] = 1;
            if(i%pri[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main(){
    init();
    ll n;
    while(~scanf("%I64d",&n) && n){
        ll ans = (n*(n-1)/2)%mod;
        ll res = n,m = n;
        for(int i=1 ;i<=tot&&pri[i]*pri[i]<=n ;i++){
            if(n%pri[i] == 0){
                res = res/pri[i]*(pri[i]-1);
                while(n%pri[i] == 0) n/=pri[i];
            }
        }
        if(n!=1) res = res/n*(n-1);
        ans = ans - res*m/2;
        printf("%I64d\n",(ans%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

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莫比乌斯函数$\mu$

定义式：
$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n=1)\\ (-1{)}^k& (n=p_1{p}_2...p_k)\\ 0& (else)\end{array}$$

性质：
(1)对于任意正整数n，有：
$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n==1]$$

该性质在莫比乌斯反演中有着极大应用。

证明：
当$n=1$时 等式显然成立。
当$n>1$时，令$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}...p_k^{a_k}$
考虑莫比乌斯函数取值的特殊性，若函数值不为$0$，则d只含每个质因子的$0$次或$1$次项。
故$$\sum _{d|n}\mu (d)=C_k^0-C_k^1+C_k^2...+(-1{)}^k{C}_k^k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i$$

由二项式定理，原式等于：
$$\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i=\sum _{i=0}^k{C}_k^i(-1{)}^i(1{)}^{k-i}=(-1+1{)}^k=0$$

综上所述：
当$n=1$原式为$1$
当$n>1$原式为$0$
证毕。

(2)对于任意正整数$n$，有：
$$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\phi (n)}{n}$$

证明：
令$f(n)$满足：$f(n)={\sum }_{d|n}\phi (d)$

由欧拉函数的性质$(4)$：$f(n)=n$
又由莫比乌斯反演:$$\phi (n)=\sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})$$
推出：
$$\phi (n)=\sum _{d|n}n\frac{\mu (d)}{d}=n\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}$$

等式两边同除以n，得：
$$\frac{\phi (n)}{n}=\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}$$
证毕。

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线性筛求积性函数

欧拉函数$\phi$

考虑将所有数分成三类：
(1)质数 $\phi (i)=i-1$

(2)最小质因子指数为1：$\phi (i\ast p)=\phi (i)\phi (p)$

(3)最小质因子指数大于1：$\phi (i\ast p)=p\ast \phi (i)$（可从欧拉函数的定义式出发）

代码：

void init(){
    tot = 0;phi[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;phi[i] = i-1;}
        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];break;
            }
            phi[i*pri[j]] = phi[pri[j]] * phi[i];
        }
    }
}

莫比乌斯函数$\mu$

因为线性筛每次都是用最小质因子去筛每一个数。
故也可分为三类：
(1)$i$为质数：$\mu [i]=-1$

(2)$i$已经包含最小质因子$p$：$\mu [i\ast p]=0$

(3)$i$不包含最小质因子$p$ ：$\mu [i\ast p]=-\mu [i]$

代码：

void init(){
    tot = 0;mu[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;mu[i] = -1;}
        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){mu[i*pri[j]] = 0;break;}
            mu[i*pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

以下为其他常见积性函数的线性筛：

约数个数函数d

仍然分三类讨论，此时我们还需要维护每一个数$i$最小质因子的指数$cnt[i]$
(1)$i$为质数：$d[i] = 2 $ $cnt[i]=1$

(2)$i$已经包含最小质因子$p$：
$d[i\ast p]=d[i]/(cnt[i]+1)\ast (cnt[i]+2)$ （由约数个数公式易得）
$cnt[i\ast p]=cnt[i]+1$

(3)$i$不包含最小质因子$p$ ：
$d[i\ast p]=d[i]\ast (cnt[p]+1)=d[i]\ast 2$
$cnt[i\ast p]=1$

代码：

void init(){
    tot = 0;d[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;d[i] = 2;cnt[i] = 1;}
        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                d[i*pri[j]] = d[i]/(cnt[i]+1)*(cnt[i]+2);
                cnt[i*pri[j]] = cnt[i] + 1;
                break;
            }
            d[i*pri[j]] = d[i]<<1;
            cnt[i*pri[j]] = 1;
        }
    }
}

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约数和函数$\sigma$

假设一个正整数$n$分解质因子之后为：
$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}...p_k^{a_k}$
则
$$\sigma (n)=\sum _{i=0}^{a_1}{p}_1^i\sum _{i=0}^{a_2}{p}_2^i.....\sum _{i=0}^{a_k}{p}_k^i$$

假设最小质因子为$p_1$故线性筛中每一个被筛到的数比起原来的数，差别只在于：${\sum }_{i=0}^{a_1}{p}_1^i$

故我们可以维护两个量：
$sum[i]:i$的最小质因子$p_1$贡献的和：${\sum }_{i=0}^{a_1}{p}_1^i$
$Mx[i]:$ $p_1^{a_1}$$a_1$ 为最小质因子的最高次数。

然后又可以把所有数分成三类：
(1)$i$为质数：$\sigma [i]=i+1$ $sum[i]=i+1$ $Mx[i]=i$

(2)$i$已经包含最小质因子$p$：$\sigma [i\ast p]=\sigma [i]/sum[i]\ast (sum[i]+Mx[i]\ast p)$
$sum[i\ast p]=sum[i]+Mx[i]\ast p$
$Mx[i\ast p]=Mx[i]\ast p$

(3)$i$不包含最小质因子$p$ ：$\sigma [i\ast p]=\sigma [i]\ast \sigma [p]=\sigma [i]\ast (p+1)$
$sum[i\ast p]=p+1$
$Mx[i\ast p]=p$

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代码：

void init(){
    tot = 0;Sigma[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot] = i;
            Sigma[i] = 1 + i;
            sum[i] = 1 + i;
            Mx[i] = i;
        }
        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                Sigma[i*pri[j]] = Sigma[i]/sum[i]*(sum[i] + Mx[i]*pri[j]);
                sum[i*pri[j]] = sum[i] + Mx[i]*pri[j];
                Mx[i*pri[j]] = Mx[i]*pri[j];
                break;
            }
            Sigma[i*pri[j]] = Sigma[i]*(pri[j] + 1);
            sum[i*pri[j]] = pri[j] + 1;
            Mx[i*pri[j]] = pri[j];
        }
    }
}