超现实数

超现实数

研究了一下超现实数，不得不赞叹人类的智慧是多么伟大

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做题方法（浓缩内容）

设$0$为后手必胜，$\ast$为先手必胜。

一个局面$\{L|R\}$表示当前状态下$A$能去的状态$L$，以及$B$能去的状态$R$。他有一个权值，权值越大对$A$越有利。$>0A$就稳赢，越大$A$赢得越爽，$=0$后手必胜，$<0B$必胜。

我们可以把$\{L|R\}$与有理数建立联系：

若是$L$和$R$之间存在整数，则$\{L|R\}$等于最接近$0$的整数。否则：

$\{L|R\}$的值为$\frac{j}{2^k}$，满足$L<\frac{j}{2^k}<R$ ，且$k$最小的数。

注意$\{0|\ast \}$$\{\ast |0\}$都没有定义，定义前者为$\uparrow$表示一个极小的大于0的数，就是$A$险胜；后面同理，设为$\downarrow$。且两者相加为$0$。$\{\ast |\ast \}=0$。$\{0|0\}=\ast$。

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知道加法（对应游戏局面的并）

对于x,y两个游戏，
newL = { u + y | u ∈ L(x) } ∪ { x + v | v ∈ L(y) }
newR = { u + y | u ∈ R(x) } ∪ { x + v | v ∈ R(y) }

用“$\{L|R\}$等价于$\{max(x)，xinL|\min (y)，yinR\}$”来时刻维护$\{L|R\}$集合的唯一

（感性理解，$A、B$一定走最有利的一个局面）。

这就解决了绝大部分的问题。

还有一个好用的结论：设$S(x)$为局面$x$的权值。
$S(\{a|b\}+\{c|d\})$=$S\{a|b\}$+$S\{c|d\}$
想法就是你可以直接把集合映射为有理数，然后就跟集合无关了，直接在有理数的基础上进行操作。

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下面是一些超现实数的记录。

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公理

1.每个数都是用两个（由已有的数构成的）集合表示的，其中不存在$X^L\ge X^R$

也就是说：其中$\forall X^L,X^R,X^L!\ge X^R$

2.定义$X\le Y$ ： 不存在$X^L\ge Y$，且 不存在$Y^R\le X$.递归定义。

也就是说：$\forall X^L!\ge B\&\&\forall Y^R!\le X$

$X\ge Y$：$X\le Y$的对称形式，两者等价。

定义$\alpha$为$\{|\}$ ，$beta$为$\{|\alpha \}$ ，$\gamma$为$\{\alpha |\}$ 。

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不等号

不等号的传递性：$X\le Y,Y\le Z,X\le Z$

性质1：$X^L\le X$

性质2：$X\le X^R$

性质3：$X\le X$

性质4：$X!\le Y=>X\le Y$。换句话说，$X\le Y$和$Y\le X$中至少有一个成立。可能两个同时成立。

不等号的完全性：$X\le Y$ 和$Y\le X$至少有一个成立

在定义一下不等号不满足反对称性，即若$X\le Y,Y\le X$，则$X=Y$.

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类：我们把形如$X\le Y,Y\le X$的$X、Y$归为一类。

加法

加法的定义：递归定义如下：

L = { u + y | u ∈ L(x) } ∪ { x + v | v ∈ L(y) }
R = { u + y | u ∈ R(x) } ∪ { x + v | v ∈ R(y) }

由定义可知，$\alpha =\{|\}$是加法单位，也就是”0“。

可以证明加法满足交换律、结合律，以及若$X+Z\le Y+Z$，则$X\le Y$.

加法逆元的定义：记录$X$的逆元为$-X$。递归定义如下：

L = { -u | u ∈ R(x) }
R = { -u | u ∈ L(x) }

加法逆元的性质：$X+ -X \le \alpha $ ，且$X+ -X \ge \alpha $

我们就可以把加法定义为类上。好处是反对称性、加法逆元也同时满足了。

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*乘法（仅供了解）

乘法的定义：递归定义如下：

L = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(x), v ∈ R(y) }
R = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(x), v ∈ L(y) }

可见$\alpha$仍然满足单位”0“的定义（在类意义下）。

由定义可知，$\gamma =\{\alpha |\}$为乘法单位，也就是"1"。

可以证明乘法的交换律，结合律，对加法的分配律。

乘法逆元：记录$/X$为$X$的逆元。递归定义如下：

L = { 0 } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ L(x-1) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ R(x-1)}
R = { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ L(x-1) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ R(x-1)}

注意，这里的乘法逆元可以无穷递归。后面会提到这一问题

乘法逆元的性质：$X\ast /X$和$\gamma$属于同一类。

推论：$\beta \ast \beta =\gamma$，也就是说，$\beta$可以看作原系统中的“-1".

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进一步的

为了方便，我们用$0,-1,1$分别表示$\alpha 、\beta 、\gamma$.

发现一个很神奇的事情：

$\{L|R\}$等价于$\{max(x)，xinL|\min (y)，yinR\}$

若没有则视为$\{-INF|+INF\}$.

博弈中的常用结论：

$\{L|R\}$的值为$\frac{j}{2^k}$，满足$L<\frac{j}{2^k}<R$ ，且其为$2^k$最小的，$\frac{j}{2^k}$最接近$0$的数。

如$\{1|2\}$ 就是$\frac{3}{2}$ ，$\{-3|4\}$就是$0$。

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不平等博弈的应用

我们将新的操作系统应用到不平等博弈中：

我们设有两个人在玩这个游戏，分别为$A$和$B$。我们站在$A$的角度来看待此次博弈。

我们定义一个状态$X$的值为$\{L|R\}$，其中$L$是所有$A$操作能到达的状态，$R$是所有$B$操作能到达的状态。

这样的话，我们可以用一个数来衡量一个状态的优劣。

如果一个状态等于$0$，则后手必胜。

如果一个状态$>0$，则$A$必胜。

如果一个状态$<0$，则$B$必胜。

绝对值的大小即为这个状态的优劣程度。

“*”的定义：$\{0|0\}$.

之所以这样定义，是因为按照上面定义，这种状态无论谁先手都是必胜的。

那么他的权值等于什么呢？

答案是，他没有权值。

根据我们之前的结论，$X\ge X^L,X\le X^R$,

可得：

$X+\ast =X$，即任何数加$\ast$等于其本身。

$\ast +\ast =0$，即$\ast$为$\ast$的加法逆元。

定义$\uparrow$为$\{0|\ast \}$,$\downarrow$为$\{\ast |0\}$。

发现$\uparrow >0$，$\downarrow <0$，且任意一个数加上$\uparrow$、$\downarrow$ 正负号不改变。

特别的，$\ast$加$\uparrow$、$\downarrow$仍为$\ast$。

小技巧：涉及到$0$和$\ast$的时候，就将他带入"先手必胜"”后手必胜“中自己模拟一下。

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