概率论与数理统计(4)

 1．数学期望

设离散型随机变量X的分布律为，…若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为，

设连续型随机变量X的概率密度为绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，即

数学期望的几个重要性质 

1设C是常数，则有
2设X是随机变量，C是常数，则有

3设X,Y是两个随机变量，则有

 4设X，Y是相互独立的随机变量，则有

2.方差

设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为,即

方差的几个重要性质 
1设C是常数，则有
2设X是随机变量，C是常数，则有
3设X,Y是两个随机变量，则有特别，若X,Y相互独立，则有
4的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即

3协方差及相关系数 
定义   量称为随机变量X与Y的协方差为，即

而称为随机变量X和Y的相关系数 
对于任意两个随机变量X 和Y，
协方差具有下述性质

定理    1    
           2     的充要条件是，存在常数a,b使

4.大数定律 
弱大数定理（辛欣大数定理）  设X1，X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并
具有数学期望作前n个变量的算术平均，则对于任意，有
定义    是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数，有则称序列依概率收敛于a，记为

5.伯努利大数定理   

设Af是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数或

6.中心极限定理    

定理一（独立同分布的中心极限定理）  设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差，则随机变量之和标准化变量，即

定理二（李雅普诺夫定理）   设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差