1.2.1 \large 1.2.1 1.2.1
钦定无需证明
1.2.2 \large1.2.2 1.2.2
显然 [ 1 , p ) ∩ Z [1,p)\cap \Z [1,p)∩Z 中所有数都与 p p p 互质,所以 φ ( p ) = p − 1 \varphi(p)=p-1 φ(p)=p−1
1.2.3 \large 1.2.3 1.2.3
p k p^k pk 的质因子只有 p p p ,所有与 p k p^k pk 不互质的数一定可以被 p p p 整除。
在小于 p k p^k pk 的数中,能被 p p p 整除的数有 p , 2 p , … , ( p k − 1 − 1 ) × p p,2p,\dots,(p^{k-1}-1)\times p p,2p,…,(pk−1−1)×p ,共 p k − 1 − 1 p^{k-1}-1 pk−1−1 个。
所以 [ 1 , p k ) ∩ Z [1,p^k)\cap \Z [1,pk)∩Z 中与 p k p^k pk 互质的数的个数就是 ( p k − 1 ) − ( p k − 1 − 1 ) = p k − p k − 1 (p^k-1)-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1} (pk−1)−(pk−1−1)=pk−pk−1 ,也就是 φ ( p k ) = p k − p k − 1 \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1} φ(pk)=pk−pk−1
1.2.4 \large 1.2.4 1.2.4
设 X X X 为 M M M 的简化剩余系,其中的元素用 x i x_i xi 来表示,元素个数为 φ ( M ) \varphi(M) φ(M) ;
设 Y Y Y 为 N N N 的简化剩余系,其中的元素用 y i y_i yi 来表示,元素个数为 φ ( N ) \varphi(N) φ(N) 。
我们只需证明下面三点即可:
A : ( x i N + y i M , M N ) = 1 \color{green}\rm A: (x_iN+y_iM,MN)=1 A:(xiN+yiM,MN)=1
B : x i N + y i M 代 表 的 元 素 两 两 不 在 同 一 剩 余 系 内 \color{green}\rm B: x_iN+y_iM 代表的元素两两不在同一剩余系内 B:xiN+yiM代表的元素两两不在同一剩余系内
C : x i N + y i M 能 代 表 M N 的 简 化 剩 余 系 内 的 所 有 元 素 \color{green}\rm C: x_iN+y_iM 能代表 MN 的简化剩余系内的所有元素 C:xiN+yiM能代表MN的简化剩余系内的所有元素
至此 A , B , C \rm A,B,C A,B,C 三点证明完毕。
显然 x i N + y i M x_iN+y_iM xiN+yiM 可以代表 φ ( M ) φ ( N ) \varphi(M)\varphi(N) φ(M)φ(N) 个值,所以 φ ( M N ) = φ ( M ) φ ( N ) \varphi(MN)=\varphi(M)\varphi(N) φ(MN)=φ(M)φ(N)
1.2.5 \large 1.2.5 1.2.5
将 x x x 分解质因数: x = p 1 k 1 × p 2 k 2 × ⋯ × p n k n x=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2} \times \cdots \times p_n^{k_n} x=p1k1×p2k2×⋯×pnkn
由欧拉函数的积性可知 φ ( x ) = ∏ i = 1 n φ ( p i k i ) \varphi(x)=\prod\limits_{i=1}^n\varphi(p_i^{k_i}) φ(x)=i=1∏nφ(piki)
根据 1.2.3 ,上式就等于 ∏ i = 1 n ( p i k i − p i k i − 1 ) \prod\limits_{i=1}^n(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1}) i=1∏n(piki−piki−1)
变形一下就是 ∏ i = 1 n [ p i k i × ( 1 − 1 p i ) ] \prod\limits_{i=1}^n[p_i^{k_i}\times(1-\dfrac 1{p_i})] i=1∏n[piki×(1−pi1)]
把 ∏ i = 1 n p i k i \prod\limits_{i=1}^np_i^{k_i} i=1∏npiki 提出来变为 x x x ,就有 φ ( x ) = x × ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) \varphi(x)=x\times\prod\limits_{i=1}^n(1-\dfrac 1{p_i}) φ(x)=x×i=1∏n(1−pi1) 了。
1.2.6 \large 1.2.6 1.2.6
由 1.2.5 的公式得 φ ( x p ) = ( x p ) × ∏ i = 1 n ′ ( 1 − 1 p i ′ ) \varphi(xp)=(xp)\times \prod\limits_{i=1}^{n'}(1-\dfrac 1{p'_i}) φ(xp)=(xp)×i=1∏n′(1−pi′1) ( n ′ , p ′ n',p' n′,p′ 的意义类似于原公式中的 n , p n,p n,p )
1.2.5的公式是 φ ( x ) = x × ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) \varphi(x)=x\times \prod\limits_{i=1}^n(1-\dfrac 1{p_i}) φ(x)=x×i=1∏n(1−pi1) ,因为 p ∣ x p\mid x p∣x,所以 x x x 乘上 p p p 之后没有增加新的质因子,所以两坨乘积式是相等的
所以 φ ( x p ) = φ ( x ) × p \varphi(xp)=\varphi(x)\times p φ(xp)=φ(x)×p
1.2.7 \large 1.2.7 1.2.7
易知 ( x , p ) = 1 (x,p)=1 (x,p)=1 ,根据欧拉函数的积性就有 φ ( x p ) = φ ( x ) φ ( p ) \varphi(xp)=\varphi(x)\varphi(p) φ(xp)=φ(x)φ(p) 。
4 \large 4 4
取 p p p 的一个质因数 q q q ,令 p = q r × t p=q^r\times t p=qr×t ,其中 q , t q,t q,t 互质。
∵ q φ ( t ) ≡ 1 ( m o d t ) ( 欧 拉 定 理 ) , φ ( p ) = φ ( q r ) φ ( t ) ( 欧 拉 函 数 积 性 ) \because q^{\varphi(t)}\equiv 1 \pmod t(欧拉定理) ,\varphi(p)=\varphi(q^r)\varphi(t)(欧拉函数积性) ∵qφ(t)≡1(modt)(欧拉定理),φ(p)=φ(qr)φ(t)(欧拉函数积性)
∴ ( q φ ( t ) ) φ ( q r ) ≡ 1 φ ( q r ) ( m o d t ) \therefore\left(q^{\varphi(t)}\right)^{\varphi\left(q^r\right)}\equiv1^{\varphi\left(q^r\right)}\pmod t ∴(qφ(t))φ(qr)≡1φ(qr)(modt) ,即 q φ ( p ) ≡ 1 ( m o d t ) q^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod t qφ(p)≡1(modt)
设 q φ ( p ) = k t + 1 q^{\varphi(p)}=kt+1 qφ(p)=kt+1 ,则 q φ ( p ) + r = q r ( k t + 1 ) = k p + q r q^{\varphi(p)+r}=q^r(kt+1)=kp+q^r qφ(p)+r=qr(kt+1)=kp+qr ,故 q φ ( p ) + r ≡ q r ( m o d p ) q^{\varphi(p)+r}\equiv q^r \pmod p qφ(p)+r≡qr(modp)
当 b ≥ r b\ge r b≥r 时,就有 q b ≡ q b − r × q r ≡ q b − r × q φ ( p ) + r ≡ q b + φ ( p ) ( m o d p ) q^b\equiv q^{b-r}\times q^r\equiv q^{b-r}\times q^{\varphi(p)+r}\equiv q^{b+\varphi(p)} \pmod p qb≡qb−r×qr≡qb−r×qφ(p)+r≡qb+φ(p)(modp)
当 b ≥ 2 φ ( p ) b\ge 2\varphi(p) b≥2φ(p) 时, b − φ ( p ) ≥ φ ( p ) ≥ φ ( q r ) ≥ r b-\varphi(p)\ge \varphi(p)\ge \varphi(q^r)\ge r b−φ(p)≥φ(p)≥φ(qr)≥r ,故 q b ≡ q b − φ ( p ) ( m o d p ) q^b\equiv q^{b-\varphi(p)}\pmod p qb≡qb−φ(p)(modp) ,即 q b ≡ q b m o d φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d p ) q^b\equiv q^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p qb≡qbmodφ(p)+φ(p)(modp)
将 a a a 分解质因数。
如果 a a a 的质因子 x x x 满足 x ∣ p x\mid p x∣p ,则根据我们上面的推导可知 x b ≡ x b m o d φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d p ) x^b\equiv x^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p xb≡xbmodφ(p)+φ(p)(modp) ;
若 x ∤ p x\nmid p x∤p ,则 x , p x,p x,p 互质,根据欧拉定理也可以搞出上面那个式子。
于是我们会得到:
{ x 1 b ≡ x 1 b m o d φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d p ) x 2 b ≡ x 2 b m o d φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d p ) ⋮ x k b ≡ x k b m o d φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d p ) \begin{cases}{x_1}^b\equiv {x_1}^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p\\ {x_2}^b\equiv {x_2}^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p\\ \qquad\vdots\\ {x_k}^b\equiv {x_k}^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1b≡x1bmodφ(p)+φ(p)(modp)x2b≡x2bmodφ(p)+φ(p)(modp)⋮xkb≡xkbmodφ(p)+φ(p)(modp)
将以上式子全部相乘,即可得到 a b ≡ a b m o d φ ( p ) + φ ( p ) ( m o d p ) a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p ab≡abmodφ(p)+φ(p)(modp)