快速数论变换（NTT）

引入

对快速傅里叶变换（FFT）的缺点进行了优化。
在计算多项式乘法（卷积）时，FFT设计三角函数、复数等很多恶心的东西，有着最大的缺点：精度问题，而在很多题目中往往需要进行取模，要求精度很高，FFT就不行了。

于是就有了快速数论变换

原根

FFT之所以可以实现，是利用了单位复根$\omega$的周期性质，${\omega }_n^n=1,{\omega }_n^k={\omega }_n^{k+n}$；
通过这个性质，可以把FFT后续所有步骤全部推导出来。

NTT由于需要取模，根据模数，我们可以重新定义一个类似于单位复根的东西，使它的幂有周期性，那就是原根

原根：${\omega }_n^n\equiv 1(modp)$，且没有$(k=1,2,3...,n-1)$${\omega }_n^k\equiv 1(modp)$。
对于每个质数$p$，令$g^{p-1}\equiv 1(modp)$，且$g^{k}modp$都不为1,$(1\le k\le p-2)$
则$g^{\frac{p-1}{n}}$就可以作为原根${\omega }_n$，满足FFT中单位复根的一切性质。

将FFT中所有单位复根换位原根，就可以实现NTT了。

代码

//UOJ34
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=400005,MOD=998244353,G=3;

int PowMod(int a,int b)
{
    int res=1;
    for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%MOD)
        if(b&1)
            res=1LL*res*a%MOD;
    return res;
}

void NTT(int A[],int n,int mode)
{
    for(int i=0,j=0;i<n;i++)
    {
        if(i<j)swap(A[i],A[j]);
        int k=n>>1;
        while(k&j)
            j^=k,k>>=1;
        j^=k;
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        int w1=PowMod(ROOT,(MOD-1)/(i<<1));
        if(mode==-1)
            w1=PowMod(w1,MOD-2);
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
            for(int l=j,r=j+i,w=1;l<j+i;l++,r++,w=1LL*w*w1%MOD)
            {
                int tmp=1LL*A[r]*w%MOD;
                A[r]=(A[l]-tmp+MOD)%MOD;
                A[l]=(A[l]+tmp)%MOD;
            }
    }
    if(mode==-1)
    {
        int invn=PowMod(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i]=1LL*A[i]*invn%MOD;
    }
}

void Multiply(const int A[],int len1,const int B[],int len2,int C[])
{
    static int A0[MAXN*3],B0[MAXN*3];
    int len=1;
    for(;len<len1+len2-1;len<<=1);
    for(int i=0;i<len1;i++)A0[i]=A[i];
    for(int i=len1;i<len;i++)A0[i]=0;
    for(int i=0;i<len2;i++)B0[i]=B[i];
    for(int i=len2;i<len;i++)B0[i]=0;
    NTT(A0,len,1);NTT(B0,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        A0[i]=1LL*A0[i]*B0[i]%MOD;
    NTT(A0,len,-1);
    for(int i=0;i<len1+len2-1;i++)C[i]=A0[i];
}

int A[MAXN],B[MAXN];

int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;i++)
		scanf("%d",A+i);
	for(int i=0;i<=m;i++)
		scanf("%d",B+i);
	Multiply(A,n+1,B,m+1,A);
	for(int i=0;i<n+m;i++)
		printf("%d ",A[i]);
	printf("%d\n",A[n+m]);
	return 0;
}