离散对数(BSGS)及(exBSGS)

普通BSGS

问题

已知$a,b,P$，且a与P互质，求解同余方程$a^x\equiv b(modP)$

算法推导

设 $m=\lceil \sqrt{P}\rceil$
设 $x=im+j$，即 $i=\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$，$j=xmodm$
所以满足$i\le m$，$j\le m$
得$$a^{im+j}\equiv b(modP)$$
$$a^j{a}^{im}\equiv b(modP)$$
$$a^j\equiv a^{-im}b(modP)$$

算法流程

先枚举j，将得到的$a^j$存入hash表；
再枚举i，计算$a^{-im}b$，是否存在hash表中，如果有，则找到了解，输出即可。

为保证答案最小，必须保证先枚举j，再枚举i，且保证$a^j$在hash表中j从小到大排列

代码

long long work(long long a,long long b,long long P)
{
	long long m,v,e=1,i;
	m=ceil(sqrt(P+0.5));
	
	v=pow_mod(a,m,P);
	v=inv(v);//v=a^(-im)
	
	Hash::clear();
	Hash::add(1,0);
	for(i=1;i<m;i++)
	{
		e=(e*a)%P;
		if(Hash::get(e)==-1)
			Hash::add(e,i);
	}
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		int t=Hash::get(b);
		if(t!=-1)
			return i*m+t;
		b=(b*v)%P;
	}
	return -1;
}

模板题

POJ2417

扩展BSGS

问题

已知$a,b,P$，a与P 不一定互质，求解同余方程$a^x\equiv b(modP)$

算法推导

$d=gcd(a,P)$
如果 $bmodd̸=0$
显然无解

则可以得
$$\frac{a^x}{d}\equiv \frac{b}{d}\left(mod\frac{P}{d}\right)$$
$$\frac{a}{d}\times a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}\left(mod\frac{P}{d}\right)$$

然后继续找$d_2=gcd(a,P/d)$
$$\frac{a^2}{d\times d_2}\times a^{x-2}\equiv \frac{b}{d\times d_2}\left(mod\frac{P}{d\times d_2}\right)$$

如此反复，令$D=d_1{d}_2{d}_3...d_k$
得
$$\frac{a^k}{D}\times a^{x-k}\equiv \frac{b}{D}\left(mod\frac{P}{D}\right)$$

前k次暴力求解，后面$\frac{P}{D}$与$a^{x-k}$互质，然后用普通BSGS就可以做了

代码

#include
#include
#include
const long long HASHSIZE=31643,MAXNODE=31650;

namespace Hash
{
	long long id[MAXNODE],val[MAXNODE],nxt[MAXNODE];
	long long head[HASHSIZE],ncnt;
	void Clear()
	{
		ncnt=0;
		memset(head,-1,sizeof head);
	}
	void Insert(long long i,long long v)
	{
		id[ncnt]=i;
		val[ncnt]=v;
		nxt[ncnt]=head[i%HASHSIZE];
		head[i%HASHSIZE]=ncnt++;
	}
	long long Get(long long i)
	{
		for(long long u=head[i%HASHSIZE];u!=-1;u=nxt[u])
			if(id[u]==i)
				return val[u];
		return -1;
	}
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0)
		return a;
	return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;y=0;
		return;
	}
	long long tx,ty;
	exgcd(b,a%b,tx,ty);
	x=ty;
	y=tx-(a/b)*ty;
}
long long PowMod(long long a,long long b,long long P)
{
	long long ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ret=(1LL*ret*a)%P;
		b>>=1;
		a=(1LL*a*a)%P;
	}
	return ret;
}
long long inv(long long a,long long P)
{
	long long x,y;
	exgcd(a,P,x,y);
	x=(x%P+P)%P;
	return x;
}

long long exBSGS(long long A,long long B,long long P)//A^X=B (mod P)
{
	long long k=0,d,a2=1;
	B%=P;
	A%=P;
	if(B==1)
		return 0;
	if(A==B)
		return 1;
	for(;;)//前k次，找公因数d
	{
		d=gcd(A,P);
		if(B%d!=0)
			return -1;//无解
		if(d==1)
			break;//已经互质，退出
		B/=d;P/=d;
		a2=(1LL*a2*A/d)%P;//记录(a^k)/(D)
		k++;
		if(a2==B)
			return k;
	}
	Hash::Clear();
	long long m=ceil(sqrt(P));
	long long s=B%P,iA=inv(A,P),Am=PowMod(A,m,P);
	//s=(B/D)*(a^-1)
	for(long long j=0;j<=m;j++)
	{
		if(Hash::Get(s)==-1)
			Hash::Insert(s,j);
		s=(1LL*s*iA)%P;
	}
	//s=(a^k)/D*(A^im)
	s=a2;
	for(long long i=0;i<=m;i++)
	{
		long long j=Hash::Get(s);
		if(j!=-1)
			return i*m+j+k;
		s=(1LL*s*Am)%P;
	}
	return -1;
}

int main()
{
	long long A,B,P,ans;
	for(;;)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&A,&P,&B);
		if(A==0&&P==0&&B==0)
			break;
		ans=exBSGS(A,B,P);
		if(ans==-1)
			puts("No Solution");
		else
			printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

模板题

POJ3243