线性规划——单纯形法
问题
标准型问题：
最大化 ∑ j = 1 n c j x j \sum\limits_{j=1}^{n}c_jx_j j=1∑ncjxj
满足约束 ∑ j = 1 n a i j ⋅ x j ≤ b i ( i = 1 , 2 , . . . , m ) \sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot x_j\le b_i\ (i=1,2,...,m) j=1∑naij⋅xj≤bi (i=1,2,...,m)
且 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 , . . . m ) x_j\geq 0\ (j=1,2,3,...m) xj≥0 (j=1,2,3,...m)
可以转换为松弛型问题：
最大化 ∑ j = 1 n c j x j \sum\limits_{j=1}^{n}c_jx_j j=1∑ncjxj
满足约束 x i + n = b i − ∑ j = 1 n a i j ⋅ x j ( i = 1 , 2 , . . . , m ) x_{i+n}=b_i-\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot x_j\ (i=1,2,...,m) xi+n=bi−j=1∑naij⋅xj (i=1,2,...,m)
且 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 , . . . n + m ) x_j\geq 0\ (j=1,2,3,...n+m) xj≥0 (j=1,2,3,...n+m)
把约束中 x i + n x_{i+n} xi+n称为非基变量， x j x_j xj称为基变量
算法
基本思路
初始找出一个满足所有约束的初始解，通过这个解不断的更新，找到更优的解，直到找不到位置（类似爬山算法）。
可以发现这样一定能找到最优解，因为如果把求解的x当做n维空间的一个点，约束条件一定在n维空间中框出一个n维凸“多面体”，一个解为凸“多面体”的一个顶点。凸面体从哪一个发现看都是单峰的，用爬山的算法是肯定能找到最优解的。
例子：
最大化： S = 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 S=3x_1+x_2+2x_3 S=3x1+x2+2x3
约束：
x 4 = 30 − x 1 − x 2 − 3 x 3 x 5 = 24 − 2 x 1 − 2 x 2 − 5 x 3 x 6 = 36 − 4 x 1 − x 2 − 2 x 3 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 ) \begin{aligned} x_4 &= 30 − x_1 − x_2 − 3x_3\\ x_5 &= 24 − 2x_1 − 2x_2 − 5x_3\\ x_6 &= 36 − 4x_1 − x_2 − 2x_3\\ x_j&\geq 0\ (j=1,2,3) \end{aligned} x4x5x6xj=30−x1−x2−3x3=24−2x1−2x2−5x3=36−4x1−x2−2x3≥0 (j=1,2,3)
显然可以看出初始解(0,0,0,30,24,36)
把第三个式子化为：
x 1 = 9 − 1 4 x 6 − 1 4 x 2 − 1 2 x 3 x_1=9-\frac 1 4 x_6-\frac 1 4 x_2-\frac 1 2 x_3 x1=9−41x6−41x2−21x3
再将 x 1 x_1 x1代入其它每个式子中去，可以发现 S = 27 − 3 4 x 6 + 3 4 x 2 + 3 2 x 3 S=27-\frac 3 4 x_6+\frac 3 4 x_2+\frac 3 2x_3 S=27−43x6+43x2+23x3
如此转换，如果我们把S式中所有的x系数转为负数，就可以把常数项当做最优解。
这种把一个非基变量和基变量交换的操作叫做转轴（pivot）。
转轴
转轴操作可以把交换一个非基变量和一个基变量
设交换非基变量 x N x_N xN和基变量 x B x_B xB
x B = b i − ∑ j = 1 n a i j ⋅ x j x_B=b_i-\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\cdot x_j xB=bi−j=1∑naij⋅xj
则转为 x N = ( b i − x B − ∑ j = 1 , j ≠ N n a i j ⋅ x j ) / a i N x_N=(b_i-x_B-\sum\limits_{j=1,j\ne N}^na_{ij}\cdot x_j)/a_{iN} xN=(bi−xB−j=1,j̸=N∑naij⋅xj)/aiN
上面的例子转轴 x 1 , x 6 x_1,x_6 x1,x6之后为
最大化： S = 27 − 3 4 x 6 + 3 4 x 2 + 3 2 x 3 S=27-\frac 3 4 x_6+\frac 3 4 x_2+\frac 3 2x_3 S=27−43x6+43x2+23x3
约束：
x 4 = 21 − 3 4 x 6 + 1 4 x 2 + 1 2 x 3 x 5 = 6 + 1 2 x 6 − 3 2 x 2 − 4 x 3 x 1 = 9 − 1 4 x 6 − 1 4 x 2 − 1 2 x 3 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 ) \begin{aligned} x_4 &= 21 − \frac 3 4 x_6 + \frac 1 4 x_2 + \frac 1 2 x_3\\ x_5 &= 6 +\frac 1 2 x_6− \frac 3 2 x_2 − 4x_3\\ x_1&=9-\frac 1 4 x_6-\frac 1 4 x_2-\frac 1 2 x_3\\ x_j&\geq 0\ (j=1,2,3) \end{aligned} x4x5x1xj=21−43x6+41x2+21x3=6+21x6−23x2−4x3=9−41x6−41x2−21x3≥0 (j=1,2,3)
可以发现S至少为27了
simplex操作
即不停的转轴，使得S式中所有的参数都为负。
每次寻找S中参数最大的 x j x_j xj（贪心的想，用最大的参数可以使答案扩得更大），然后从约束条件中，找到对 x j x_j xj限制最大的约束 i i i，即 b i a i j \frac {b_i} {a_{ij}} aijbi最小，转轴 x j x_j xj与 x i + n x_{i+n} xi+n（选择限制最大的约束，使得转轴后，其余约束条件中的 b i b_i bi非负）
寻找初始解
当满足所有 b i ≥ 0 b_i\geq 0 bi≥0，显然可以把 x j = 0 , x i + n = b i x_j=0,x_{i+n}=b_i xj=0,xi+n=bi当做一个可行的初始解。
如果存在 b i < 0 b_i<0 bi<0，有两种方法
法一
论文方法：
可以通过引入辅助变量 x 0 x_0 x0 ，经过转轴操作将 b i b_i bi转换为 ≥ 0 \geq 0 ≥0。
最大化 − x 0 -x_0 −x0
满足约束 x i + n = b i − ∑ j = 1 n a i j ⋅ x j + x 0 ( i = 1 , 2 , . . . , m ) x_{i+n}=b_i-\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot x_j+x_0\ (i=1,2,...,m) xi+n=bi−j=1∑naij⋅xj+x0 (i=1,2,...,m)
如果得到最优解 x 0 = 0 x_0=0 x0=0，则这个 x 0 x_0 x0对原来问题的答案没有影响，否则原问题无解。
选择最小的 b i b_i bi，设为第k个约束，把那个约束中 x 0 x_0 x0进行转轴操作换出来，则
x 0 = − b k + x k + n + ∑ j = 1 n a k j ⋅ x j x_0=-b_k+x_{k+n}+\sum\limits_{j=1}^{n}a_{kj}\cdot x_j x0=−bk+xk+n+j=1∑nakj⋅xj
其它约束变为
x i + n = b i − b k + x k + n + ∑ j = 1 n ( a k j − a i j ) ⋅ x j x_{i+n}=b_i-b_k+x_{k+n}+\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{kj}-a_{ij})\cdot x_j xi+n=bi−bk+xk+n+j=1∑n(akj−aij)⋅xj
因为 b k b_k bk为最小的b，所以这个式子中 b i − b k b_i-b_k bi−bk一定为非负数，从而把所有的约束中常数项变为非负。
此时再从要求最大化的式子中，选一个参数为正的 x p x_p xp，将其与 x 0 x_0 x0转轴。
重复这样的操作，直到所有 b i b_i bi全为正。
实现简单的法二
每次随机找到一个<0的 b i b_i bi，在从 b i b_i bi的约束条件中找一个系数大于0的 x j x_j xj，转轴 x i + n , x j x_{i+n},x_j xi+n,xj，就可以把当前 b i b_i bi变为正的（虽然有可能把其它条件的 b i b_i bi变为负数，所以要随机。。。）
多次执行随机操作，基本上可以把所有 b i b_i bi变为非负数。（UOJ拿97分）
法三
把法二的 b i b_i bi，每次选择最小的负数 b i b_i bi来进行操作也能过，并不知道为什么。。。
代码
UOJ179
#include