【bzoj1471】不相交路径【容斥原理】【动态规划】【拓扑排序】

题目描述
给出一个N(n<=150)个结点的有向无环简单图。给出4个不同的点a,b,c,d，定义不相交路径为两条路径，两条路径的起点分别为a和c，对应的两条路径的终点为b和d，要求满足这两条路径不相交，即两条路径上没有公共的点。 现在要求不相交路径的方案数。
题解
我们注意到这个图是一个DAG，所以在这上面可以很方便地拓扑排序，dp很多东西。
我们设 f[i][j] f [ i ] [ j ] 表示i~j的不同路径条数， g[i] g [ i ] 表示a~i，b~j路径相交于点i的方案总数。
则易得状态转移方程：

g[i]=f[a][i]×f[c][i]−∑k,拓扑序在i之前g[k]×f[k][i]2 g [ i ] = f [ a ] [ i ] × f [ c ] [ i ] − ∑ k , 拓 扑 序 在 i 之 前 g [ k ] × f [ k ] [ i ] 2

这个方程就是用全集减去不合法的方案。其实也可以叫做容斥。
最后

ans=f[a][b]×f[c][d]−∑k=1ng[k]×f[k][b]×f[k][d] a n s = f [ a ] [ b ] × f [ c ] [ d ] − ∑ k = 1 n g [ k ] × f [ k ] [ b ] × f [ k ] [ d ]

容斥一下。
还有一个问题， f f 怎么求？
在这里我用了一个很暴力的方法。枚举路径的长度，然后更新并累加。极限复杂度是 O(n3m) O ( n 3 m ) 的，但是远远达不到这个上界。因此成功垫底QAQ。

#include
#define int long long
using namespace std;
const int N=155,M=1000005;
int n,m,u,v,a,b,c,d,cnt,idx,ans,head[N],in[N],to[M],nxt[M],pos[N],g[N],f[N][N],h[N][N],w[N][N],tmp[N][N];
queue<int> q;
void adde(int u,int v){
    to[++cnt]=v;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;
    in[v]++;
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        w[u][v]++;
        adde(u,v);
    }
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i][i]=h[i][i]=1;
        if(!in[i]){
            q.push(i);
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(),v;
        q.pop();
        pos[++idx]=u;
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
            v=to[i];
            in[v]--;
            if(!in[v]){
                q.push(v);
            }
        }
    }
    for(int len=1;;len++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                if(w[pos[i]][pos[j]]){
                    for(int k=j;k<=n;k++){
                        tmp[pos[i]][pos[k]]+=w[pos[i]][pos[j]]*h[pos[j]][pos[k]];
                    }
                }
            }
        }
        bool flag=false;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(tmp[i][j]){
                    flag=true;
                }
            }
        }
        if(!flag){
            break;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                f[i][j]+=tmp[i][j];
                h[i][j]=tmp[i][j];
                tmp[i][j]=0;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int u=pos[i],v;
        g[u]=f[a][u]*f[c][u];
        for(int j=1;jfor(int i=1;i<=n;i++){
        ans-=g[i]*f[i][b]*f[i][d];
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}