KMP算法next数组计算的理解——菜鸟福音

我的文章莫名找不到了。。。还是再写一遍吧，希望对了解KMP的算法有点帮助……

首先写几点
1）本文讨论的KMP主要是严蔚敏的《数据结构》中第四章提到的KMP，即带NEXT[]辅助数组的KMP算法
2）本文主要是讨论KMP算法NEXT[]数组的计算的理解，一些数学上不严谨的地方还请见谅
3）本文主要针对算法及数据结构的新手，希望能帮助大家快速理解KMP

KMP算法在网络到处都是讨论，在这里假设我们都知道KMP算法的基本原理，以及NEXT[]数组的定义。

于是有
<定义1>
对于一个模式串P[]，有相应的NEXT[]。对于每个P[K+1]有NEXT[K+1]=X，此时
‘P[1]P[2]..P[X-1]’ = ‘…P[K]’
因为，NEXT的意义在于使得模式串P[]与目标串T[]匹配到P[K-1]与T[J-1]都成功时，在P[K]!=T[J]的情况下，模式串需要移动后与目标串比较的位置。

以及
<结论1>
对于任意一个模式串P[]及其NEXT[]，必然有
NEXT[1]=0;NEXT[2]=1
因为，第一个字符不匹配，只能将模式串右移，而第二个字符不匹配，只能比较第一个字符。

所以，现在根据以上得出的定义和结论，结合这样一个假设
<假设>
对于某个模式串P[]及其NEXT[]，已知某个字符P[K]及其前面所有的NEXT[]对应的值。
基于结论1，显然成立。不妨设此时P[K]=Y；

现在，我们在上述假设下，求NEXT[K+1]=X，X为未知量。

那么根据<定义1>，显然有
‘P[1]P[2]..P[X-1]’ = ‘…P[K]’
同时因为P[K]=Y，所以有
‘P[1]P[2]..P[Y-1]’ = ‘…P[K-1]’

实际上，由KMP的NEXT[]本身有“满足最大前后缀匹配”的原则（这个地方在理解上可以忽略，数学上也是可以证明的，本文就不证明了……），因此，

如果，P[Y]=P[NEXT[K]]=P[K]，那么有
‘P[1]P[2]..P[Y-1]P[Y]’ = ‘…P[K-1]P[K]’
而上面已经提到
‘P[1]P[2]..P[X-1]’ = ‘…P[K]’
由“满足最大前后缀匹配”的性质，可以充要的推导出：
X-1=Y。
即当P[NEXT[K]]=P[K]时，NEXT[K+1]=NEXT[K]+1。

如果，P[Y]!=P[K]，那么，设NEXT[Y]=Y2，(显然Y2 < Y)，因为<性质1>
‘P[1]P[2]..P[Y2-1]’ = ‘…P[K-1]’
以及KMP的性质，则回到迭代求解的过程中。

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由此就可以理解KMP算法中NEXT的求解了，希望能帮到更多人。
欢迎指正、讨论！

谢谢阅读！