算法其实很简单—克鲁斯卡尔算法

目录

1. 克鲁斯卡尔算法介绍

2. 公交站问题

2.1 克鲁斯卡尔算法图解

2.2 克鲁斯卡尔算法分析

2.3 如何判断是否构成回路

3. 代码实现

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1. 克鲁斯卡尔算法介绍

1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。（最小生成树也可以通过普里姆算法生成，具体可参考算法其实很简单—普利姆算法）

2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

3)具体做法:首先构造一一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

 

2. 公交站问题

 

1)某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)， 现在需要修路把7个站点连通

2)各个站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里

3) 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

2.1 克鲁斯卡尔算法图解

第1步:将边加入R中。

边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

 

第2步:将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

 

第3步:将边加入R中。

上一 步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

 

第4步:将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路;因此，跳过边。同理，跳过边.将边加入到最小生成树结果R中。

 

第5步:将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

 

第6步:将边加入R中。

上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路;因此，跳过边。同理，跳过边.将边加入到最小生成树结果R中。

 

此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是: < < .

 

2.2 克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:

问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

2.3 如何判断是否构成回路

 

在将 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:

(01) C的终点是F。

(02) D的终点是F。

(03)E的终点是F。

(04) F的终点是F。

 

关于终点的说明:

1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

2)因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点,否则将构成回路。

3. 代码实现

package com.example.datastructureandalgorithm.kruska;

import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;

/**
 * @author 浪子傑
 * @version 1.0
 * @date 2020/6/17
 */
public class KruskaDemo {

    public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
        char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
        int matrix[][] = {
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
                /*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
                /*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                /*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                /*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                /*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                /*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
        };
        Kruska kruska = new Kruska(vertexs, matrix);
        kruska.print();
        System.out.println(Arrays.toString(kruska.getEdges()));
        EData[] eDatas = kruska.getEdges();
        Collections.sort(Arrays.asList(eDatas));
//        kruska.sortEData(eDatas);
        System.out.println(Arrays.toString(eDatas));
        kruska.kruska();
    }
}


class Kruska {
    private int edgeNum;
    private char[] vertexs;
    private int[][] matrix;

    public Kruska(char[] vertexs, int[][] matrix) {
        this.vertexs = vertexs;
        this.matrix = matrix;
        int length = vertexs.length;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }

    public void print() {
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 使用冒泡排序对eDatas进行排序
     *
     * @param eDatas
     */
    public void sortEData(EData[] eDatas) {
        for (int i = 0; i < eDatas.length - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < eDatas.length - i - 1; j++) {
                if (eDatas[j + 1].weight < eDatas[j].weight) {
                    EData temp = eDatas[j];
                    eDatas[j] = eDatas[j + 1];
                    eDatas[j + 1] = temp;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 查找ch对应点的下标
     *
     * @param ch
     * @return
     */
    public int getPosition(char ch) {
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            if (vertexs[i] == ch) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 获取邻接矩阵转为的EData
     *
     * @return
     */
    public EData[] getEdges() {
        int index = 0;
        EData[] eDatas = new EData[edgeNum];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
                if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {
                    eDatas[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return eDatas;
    }

    /**
     * 获取下标为i的顶点的终点，用于判断两个顶点的重点是否相同
     *
     * @param ends 记录各个顶点的重点，动态生成的
     * @param i
     * @return
     */
    public int getEnd(int[] ends, int i) {
        while (ends[i] != 0) {
            i = ends[i];
        }
        return i;
    }

    public void kruska() {
        // 表示结果数组的索引
        int index = 0;
        // 记录每个顶点的重点
        int[] ends = new int[edgeNum];
        // 最终返回的结果
        EData[] result = new EData[edgeNum];
        // 获取所有边的集合
        EData[] eDatas = getEdges();
        // 对eData进行排序
        sortEData(eDatas);
        for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
            // 获取开始顶点的位置
            int p1 = getPosition(eDatas[i].start);
            // 获取结束顶点的位置
            int p2 = getPosition(eDatas[i].end);
            // 获取终点位置
            int m = getEnd(ends, p1);
            int n = getEnd(ends, p2);
            // 当不相同时，说明没有形成回来
            if (m != n) {
                ends[m] = n;
                result[index++] = eDatas[i];
            }
        }

        for (int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(result[i]);
        }
    }
}

class EData implements Comparable {
    char start;
    char end;
    int weight;

    public EData(char start, char end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "EData{" +
                "<" + start +
                ", " + end +
                "> =" + weight +
                '}';
    }

    @Override
    public int compareTo(EData o) {
        return this.weight - o.weight;
    }
}