树状数组 （区间查询+单点更新） （区间更新+单点查询）（区间最值）

树状数组如上所示
其中 c[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)+2] + … + a[i] 其中lowbit(i)=2^k，k为i的二进制数中最低位到最高位连续0的个数
如a[3]，3的二进制数为011，k为0，lowbit(3)=1，所以c[3]=a[3]
如a[4]，4的二进制数为100，k为2，lowbit(4)=4，所以c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
在求lowbit(i)时，用如下代码即求得

int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);
}

一、区间查询

如利用c数组求a数组的前i项和sum[i]
如 i=7时，sum[7]=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[7]=c[4]+c[6]+c[7]
用二进制来表达就为 sum[(111)]=c[(111)]+c[(110)]+c[(100)] 你会发现有规律
代码如下

int getsum(int a)
{
	int ans=0;
	for(int i=a;lowbit(i)>0;i-=lowbit(i))   // 每次i减去lowbit(i)就相当于将二进制末位抹掉个0，正好与前面说的对应
	ans+=c[i];  // 若a为7，则通过for循环就得到了 sum[(111)]=c[(111)+c[(110)]+c[(100)]
	return ans;
}

二、单点更新

如当修改a数组中的某一个值，如何更新c数组
由前面的树状图，当更新a[1]时，需要更新c[1],c[2],c[4],c[8]，二进制分别为c[(001)] c[(010)] c[(100)] c[(1000)] 你又发现了规律
代码如下

void update(int a,int b)
{
	for(int i=a;i<=n;i+=lowbit(i)) //每次i加上lowbit(i)就相当于将二进制末位的1向左移一位，正好与前面说的对应
	{
		c[i]+=b; // 若a为1，则通过for循环就对c[1],c[2],c[4],c[8]全更新了
	}
}

区间查询+单点更新例题：

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;

代码如下

#include 
#include 
#include 
#define MAX 50020
using namespace std;
int c[MAX];
int n;
int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);
}
void update(int a,int b)
{
	for(int i=a;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		c[i]+=b;
	}
}
int getsum(int a)
{
	int ans=0;
	for(int i=a;lowbit(i)>0;i-=lowbit(i))
	ans+=c[i];
	return ans;
}
int main()
{
	int t,i,k=1,a;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		memset(c,0,sizeof(c));
		printf("Case %d:\n",k);
		k++;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
		scanf("%d",&a);
		update(i,a);//建树，将数组c存入值 
		} 
		char str[100];
		while(scanf("%s",str),strcmp(str,"End")!=0)
		{
			int a,b;
			if(strcmp(str,"Query")==0)
			{
				scanf("%d%d",&a,&b);
				int ans1=getsum(a-1);
				int ans2=getsum(b);
				printf("%d\n",ans2-ans1);
			}
			else if(strcmp(str,"Add")==0)
			{
				scanf("%d%d",&a,&b);
				update(a,b);
			}
			else if(strcmp(str,"Sub")==0)
			{
				scanf("%d%d",&a,&b);
				update(a,-b);
			}
		}
	}
	return 0;
}

三、区间更新+单点查询

题目描述
Apojacsleam喜欢数组。
他现在有一个n个元素的数组a，而他要对a[L]-a[R]进行M次操作：
操作一：将a[L]-a[R]内的元素都加上P
操作二：将a[L]-a[R]内的元素都减去P
最后询问a[l]-a[r]内的元素之和
输入共M+3行：
第一行两个数，n，M，意义如“题目描述”
第二行n个数，描述数组。
第3-M+2行，共M行，每行四个数，q，L，R，P，若q为1则表示执行操作2，否则为执行操作1
第4行，两个正整数l，r
输出描述:
一个正整数，为a[l]-a[r]内的元素之和

**思想：**运用差分数组
如 设数组a[]={1,6,8,5,10}(从a[1]开始) ，b[i]=a[i]-a[i-1]， 则b[]={1,5,2,-3,5}
假如现在让数组a在区间[2,4]都加上2的话，则a[]={1,8,10,7,10} b[]={1,7,2,-3,3} 发现差分数组b[]只有 b[2]加了2，b[5]少了2
因此发现规律，可将区间更新转换为树状数组b[]的单点更新 用差分数组b[] 充当树状数组c[]

代码如下

#include 
#include 
#include 
#define MAX 1000001
#define ll long long
using namespace std;
int [MAX];
int a[MAX];
int n,m;
int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);
}
void update(int a,int b)
{
	for(int i=a;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		c[i]+=b;
	}
}
int getsum(int a)
{
	int ans=0;
	for(int i=a;lowbit(i)>0;i-=lowbit(i))
	ans+=c[i];
	return ans; //由于c[]指代的是差分数组 a[i]=c[1]+c[2]+...+c[i]，因此每次返回的ans其实就是数组a的一个值
}
int main()
{
	int q,L,R,p,l,r;
	ll sum=0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		update(i,a[i]-a[i-1]);// 由差分数组建树
	}
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&q,&L,&R,&p);
		if(q==1)
		{
			update(L,-p);
			update(R+1,p); //只需更新差分数组的这两点，就将a数组的那一区间更新了
		}
		else
		{
			update(L,p);
			update(R+1,-p);
		}
	}
	scanf("%d%d",&l,&r);
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		sum+=getsum(i);
	}
	printf("%lld\n",sum);
	return 0;
}

四、区间求最值+最值查询

首先，a[]数组仍然是保存原始数据。但是c[]数组变了，c[i]将会保存从a[i-lowbit(i)+1]到a[i]的最值
当我们输入a[i]时，c[i]需要需要向前依次枚举被c[i]所包含的c[]数组。比如，当i == 8时，需要向前依次枚举c[7], c[6], c[4]
取a[8]与这几个c[]中的最值保存在c[8]中。
更新代码为

void update(int x,int y)// y其实就是a[x]
{
	for(int i=x;i<n;i+=lowbit(i))
	{
		c[i]=y;
		for(int j=1;j<lowbit(i);j+=lowbit(j))// 当x为8时，则将a[8]与 c[7] c[6] c[4] 相比较求出最大值 也可写成j<<=1
		{
			c[i]=max(c[i],c[i-j]);
		}	
	}
}

查询一区间中的最大值时
查询代码如下

int query(int l,int r)//查询区间[l,r]中的最大值
{
	int ans=0;
	while(r>=l)
	{
		ans=max(ans,a[r]);
		r--;
		for(;r-lowbit(r)>=l;r-=lowbit(r))
		ans=max(ans,t[r]);
	}
	return ans;
	
}

**例题：**本题目包含多组测试，请处理到文件结束。
在每个测试的第一行，有两个正整数 N 和 M ( 0 学生ID编号分别从1编到N。
第二行包含N个整数，代表这N个学生的初始成绩，其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。
接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取’Q’或’U’) ，和两个正整数A，B。
当C为’Q’的时候，表示这是一条询问操作，它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中，成绩最高的是多少。
当C为’U’的时候，表示这是一条更新操作，要求把ID为A的学生的成绩更改为B。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int a[400001],t[400001];
int n,m;
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void update(int x,int y)
{
	for(;x<n;x+=lowbit(x))
	{
		t[x]=y;
		for(int i=1;i<lowbit(x);i+=lowbit(i))
		{
			t[x]=max(t[x],t[x-i]);
		}	
	}
}
int query(int l,int r)
{
	int ans=0;
	while(r>=l)
	{
		ans=max(ans,a[r]);
		r--;
		for(;r-lowbit(r)>=l;r-=lowbit(r))
		ans=max(ans,t[r]);
	}
	return ans;
	
}
int main()
{
	int m;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(t,0,sizeof(t));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			update(i,a[i]);
		}
		while(m--)
		{
			getchar();
			char ch;
			scanf("%c",&ch);
			int x,y;
			if(ch=='Q')
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				long long num=query(x,y);
				printf("%lld\n",num);
			}			
			else if(ch=='U')
			{
				scanf("%d%d",&x,&y);
				a[x]=y;
				update(x,y);
			}
		} 
	}
}