bzoj3930/洛谷P3172 选数

题目分析

递推+容斥。
我们注意到H-L<=10^5，也就是说H-L是很小的。那么对于任意正整数x,如果x>H-L,那么就在H到L的区间里不可能找到两个及以上的数，它们的gcd=x。
这样我们就可以大大缩小范围了！
以下所有除法都是向下取整。。。
我们用f[i]表示gcd为 i∗k 的数对的个数，首先我们可以缩小H和L，即同时除以k，令l=(H-1)/k,r=L/k,结果不变（为什么是(H-1)/k?因为我们只要用到H-1），那么在H到L范围内 i∗k 的倍数有 r/i−l/i 个，那么从其中选出n个数组成数对的个数有 (r/i−l/i)n 个。
但是我们不能算所有数都一样的数对，因为我们把递推范围缩小到H-L（或者说r-l）的前提是找不到两个及以上的数满足gcd=x，如果是所有数都一样的数对，依然可能超出我们枚举的gcd的范围。所以要减去一个 r/i−l/i
然后找范围以内所有i的倍数j，去除掉所有f[j]就可以得到f[i]。
最后注意，如果k在H到L的范围里，答案要+1

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
LL mod=1000000007;
LL f[100005];
LL n,k,l,r;
LL ksm(LL x,LL y){
    LL re=1;
    while(y){
        if(y&1)re=(re*x)%mod;
        x=(x*x)%mod,y>>=1;
    }
    return re;
}
int main()
{
    LL i,j,kl=0,x,y,len;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
    if(l<=k&&k<=r)kl=1;
    l--,l/=k,r/=k,len=r-l;
    for(i=len;i>=1;i--){
        x=l/i,y=r/i;
        f[i]=(ksm(y-x,n)-(y-x)+mod)%mod;
        for(j=i<<1;j<=len;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
    }
    printf("%lld",f[1]+kl);
    return 0;
}