几个离散混沌映射系统(混沌函数)

0.背景知识

(1) 混沌系统是指在一个确定性系统中，存在着貌似随机的不规则运动，其行为表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。

(2) Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率,当其指数大于0时，此时系统具有混沌性质。

1.logistic映射

1.1    简介

此映射是目前应用最广泛的一类非线性动力学离散混沌映射系统。

1.2    映射方程

Xn+1 = μXn(1-Xn)                     n = 1,2,3. . .

其中，参数μ∈(0,4]，Xn∈(0,1)，当3.5699...<μ≤4时，系统处于混沌状态。

1.3    映射图像

图a为logistic映射的分岔图，图b为logistic系统的Lyapunov指数曲线图，当μ=4时，logistic系统的Lyapunov指数达到最大值0.69(引自百度，图片侵删)。

1.4    改进型logistic映射

Xn+1 = 1-2*(Xn)^2                     n = 1,2,3. . .

其中，参数Xn∈(-1,1)，此函数更适合对数字信号进行调制。

2.tent映射

2.1    简介

此映射是目前也是应用广泛的一类非线性动力学离散混沌映射系统，其在混沌扩频码的产生、混沌加密系统构造和混沌优选算法的实现等领域中。

2.2    映射方程

              {       Xn/q                     0<Xn≤q

Xn+1 = {                             

              {      (1- Xn)/(1-q)          q<Xn<1

其中，参数q∈(0,1)，Xn∈(0,1)。

2.3    映射性质

它与logistic映射互为拓扑共轭映射，在q的可取范围内，系统都处于混沌状态。尤其的，当q=0.5的时候，系统呈现短周期状态。使用此映射时，需要注意，系统初值不能和系统参数q相同，否则将演化成周期系统。

(未完待续)