洛谷 P3175 [HAOI2015]按位或(FMT+minmax容斥)

题目链接
minmax容斥又称最值反演，是一种针对集合min->max或者max->min的反演
结论公式为
$max\{S\}={\sum }_{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}min\{T\}$
$min\{S\}={\sum }_{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}max\{T\}$
这个应该还蛮好证明的
我们考虑构造一个函数
$max\{S\}={\sum }_{T\subseteq S}F(|T|)min\{T\}$
那么分析一下第$x+1$大的数字会被枚举到几次
显然是从比他大的$x$个里任意取出若干个与他构成集合，也就是 ${\sum }_{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)$个
然后他出现的次数应该是${\sum }_{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)f(i+1)$
显然只有第0大（最大）的才会出现次数是一，所以我们规定大函数$F(x)=[x==0]$
$F(x)={\sum }_{i=0}^x\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i}\right)f(i+1)$
愉快的二项式反演一波
$f(x+1)={\sum }_{i=0}^x(-1{)}^{x-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})F(i)$
$f(x+1)={\sum }_{i=0}^x(-1{)}^{x-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})[i==0]$
$f(x+1)=(-1{)}^x$
$f(x)=(-1{)}^{x-1}$
但其实$(-1{)}^{x-1}$与$(-1{)}^{x+1}$也没啥差别对吧，所以最值反演按照上面表述也是正确的。

同样的minmax容斥可以被扩展成这样子两个式子
$lcm\{S\}={\prod }_{T\subseteq S}gcd\{T\}$
$E[max\{S\}]={\sum }_{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E[min\{T\}]$

这道题要用到的就是后者。
我们转化题意就是求全集中最后一个1出现的期望
用minmax容斥可以转化成集合中第一个1出现的期望
这个期望就是概率分之一，所以直接考虑概率
显然第一个1出现的概率就是1减去这个集合的补集的所有子集出现的概率和
子集和什么的FMT就可以达到正确复杂度了
那么这题就做完了

代码如下：

#include
using namespace std;

int lim,n;
double p[1100000],ans;
int cnt[1100000];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	lim=1<<n;
	for(int i=0;i<lim;i++) scanf("%lf",&p[i]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
	{
		for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1))
		{
			for(int j=0;j<mid;j++)
			{
				p[i+j+mid]+=p[i+j];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<lim;i++)
	{
		cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	}
	for(int i=1;i<lim;i++)
	{
		if(1.0-p[(lim-1)^i]<1e-9)
		{
			puts("INF");
			return 0;
		}
		ans+=((cnt[i]&1)?1.0:-1.0)*(1.0/(1.0-p[(lim-1)^i]));
	}
	printf("%.6lf",ans);
}