欧拉回路/路径【总结】

作为广大OIer的朋（gong）友（di）的欧拉，在图论中也贡（zuo）献（e）良（duo）多（duan），尤其是萌新经常会遇到以下两个恶心玩意。
欧拉路径：在一个图中，由i点出发，将每个边遍历一次最终到达j点的一条路径。
欧拉回路：i=j时的欧拉路径。
于是，如何确定一个图是否存在欧拉路径/回路，并找到这条路经，成为了出题人虐待萌新的法宝。

无向图

首先，在无向图中，要确定是否存在欧拉回路很容易：只要每个点的度数均为偶数即可。（这里就不扯什么连不连通的鬼东西了）。
因为每个点的度数为偶数，所以可以将整个图看做由数个环嵌套而成，因为环一定能找到一条欧拉回路，所以整个图也能找到欧拉回路。

欧拉路径：如果有且仅有两个点的度数为奇数，就会存在一条从这两个中的一个到达另一个的欧拉路径。
假如在这两个点间连一条边，就能够从任意一个点出发找到一条欧拉回路，当出发点为这两个点中的一个时，切断这条边，就成为一条欧拉路径了。

有向图

欧拉回路：所有点的入度等于出度，就存在一条欧拉回路。
这里可以换一种角度来理解，对于每一个点，每次进入这个节点，就一定有一条路可以出去，因此必定存在一条欧拉回路。
欧拉路径：最多有一点入度等于出度+1，最多有一点入度等于出度-1，就会有一条从出度大于入度（没有则等于）的点出发，到达出度小于入度（没有则等于）的点的一条欧拉路径。证明方法与无向图的欧拉路径类似。

至此，我们已经可以判断一个图是否存在欧拉回路/路径了。
接下来就是找出这条路经。首先，出发点我们在证明中已经确定，只需要保留路径时由后往前保存，再利用深搜回溯的过程，我们可以保证不会走死胡同（其实是走了死胡同，但保存路径时会把这段路留到最后，就相当于没有走死）。
因此，栈成为我最喜爱的保存路径的数据结构（先进后出）。

void dfs(int x){
    for(int i=0;i.size();i++)
        if(vis[x][i]==0){
            vis[x][i]=1;
            //delete(a[x][i],x);无向图要加这句
            dfs(a[x][i]);
            path.push(id[x][i]);//存储路径上的边
            cnt++;
        }
    ans.push(x);//存储路径上的点
}

建议仔细分析一下：存储点和存储边的代码在位置上是否必须固定？如果不是，那么还能够怎么写？如果是，改成其他样子有什么结果？

注:有时候，你可能需要判断是否存在路径，一种很懒的做法是直接找路径，如果路径的长度等于给出的边数，就算有解，否则无解。

但其实这是错误的。
如果你真的理解了我刚才对算法的介绍，就会发现我的介绍是基于一定存在路径的基础上的。如果不存在路径，这个算法仍然会得出一个错误的解，这是由于搜索时，因为相信一定有解，所以会将一些不可行的边视为可行，自然会出错。