有限序列线性复杂度和k-错线性复杂度的计算 —— 密码与密码工程实践No.2

有限序列线性复杂度和k-误差线性复杂度的计算
在本节中，我们的目标是开发算法，计算有限序列的线性复杂度和k-误差线性复杂度，将其视为周期为2次方的二进制序列的初始段（我们不需要知道是哪一次方）。
注意，任何周期为$2^v$的无穷序列$s\in \mathrm{T}$，其中 最小，$c(s)\le 2^v$。因此，如果我们知道s的至少$2c(s)$项，我们实际上知道序列的整个周期，即我们知道整个序列。
我们将用 表示周期任意幂为2的二进制序列集，$\mathrm{T}={\bigcup }_{i=0}^{\infty }{P}_{2^i}$。
定理3.1 假设$z=(z_0,z_1,\cdots ,z_{t-1})\in F_2^t$ 是一个长度为$t\ge 1$的有限序列。
定义$u=\lceil {\log }_{2}t\rceil$ ，无限周期为$2^u$的序列$s^{{}^{\prime }}$如下：

1. 如果$c(z,\mathrm{T})\le \frac{t}{2}$ ， 则$c(z,\mathrm{T})=c(s^{{}^{\prime }})$ ；
2. 如果$c(z,\mathrm{T})>\frac{t}{2}$ ， 则 $c(s^{{}^{\prime }})>\frac{t}{2}$ 。

前面的定理可用于计算有限序列的线性复杂度，如下所示。对于长度为t的有限序列z，将其看作一个周期序列的初始段，在定理3.1中建立（线性时间）周期$2^{\lceil {\log }_{2}t\rceil }$ 2的无穷序列$s^{{}^{\prime }}$。然后使用Games-Chan算法计算$c(s^{{}^{\prime }})$。如果结果最多是$\frac{t}{2}$，我们将其输出为$c(z,\mathrm{T})$。否则，我们输出一条消息“z的复杂度大于项数的一半”。当我们真正想计算只知道第一个t项的无限序列s的复杂度时，这种情况可能很有用。
然而，我们可能需要计算$c(z,\mathrm{T})$的精确值，即使它比$\frac{t}{2}$高。这一点，以及k-错误复杂度可以使用以下定理计算。其主要思想是，如果我们将有限序列扩展为无限周期代价序列，例如序列中的新项都是具有零代价的，那么对新项的任何更改都不计入k个错误，只计入原始有限序列中的更改。
定理3.2 假设$z=(z_0,z_1,\cdots ,z_{t-1})\in F_2^t$是一个有限序列，其中$t\ge 1$。定义$u=\lceil {\log }_{2}t\rceil$，定义周期为$2^u$的无限代价序列$s^{{}^{\prime }}$ ，如下所示：
$s_i^{{}^{\prime }}=z_i$ ， $\cos t[i]=1$ ，$i=0,1,\cdots ,t-1$
$\forall s_i^{{}^{\prime }}$ ， $\cos t[i]=0$ ， $i=t,t+1,\cdots ,2^u-1$
$c_k(z,\mathrm{T})=c_{k,2^u}(s^{{}^{\prime }},\cos t)$ ， $k=0,1,\cdots ,wt(z)$
特别地，$c_0(z,\mathrm{T})=c_{0,2^u}(s^{{}^{\prime }},\cos t)$