数据结构--堆

堆的引用场景非常多，比如堆排序，TOP-K，优先级队列等；这里在学习及使用过程中做一个记录；
好记性不如烂笔头

概述

• 堆是一个完全二叉树（除最后一层，其它层均是满节点，最后一程的节点都靠左）；
• 堆中每个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值；（等价于： 堆中每个节点的值都大于等于（或小于等于）其左右子节点的值）
  大于等于 — 大顶堆； 小于等于 — 小顶堆

堆实现

对于完全二叉树，可以通过 数组 来进行存储；可以方便的通过索引来获取到每一个元素；
规律：

当前节点索引： i
左子节点索引： i * 2
右子节点索引： i * 2 + 1
父节点的索引： i / 2

堆插入，堆移除

在我们采用数组实现堆时，明显直接插入到数组最后，是有最小操作的插入方式；插入后，再根据堆结构和其对应父节点进行比较，进行位置调整；
这个过程称之为 堆化（heapify）
堆化分类：

• 自下而上：
  将新插入的节点同其父节点进行比较，如果不满足关系，则进行交换；
• 自上而下：
  场景：删除堆顶元素。为了满足完全二叉树，通常删除堆顶元素后，我们将最后一个元素移动到堆顶位置；再自上而下进行比较交换；

堆化复杂度：

1. 空间上，即为数据交换的过程，因此空间复杂度为 O(1);
2. 时间上，一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 ${\log }_{2}n$ ；堆化的过程即是顺着节点路径比较交换，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，即: O($\log n$)；

tip: 插入和删除操作主要逻辑就是堆化，因此插入一个元素或删除堆顶元素的时间复杂度也为 O($\log n$)

堆排序

堆排序时间复杂度可以做到和归并排序、快速排序、线性排序一样，为O(n$\log n$)；
堆排序整个过程，可分为： 建堆 和 排序

建堆

1. 假设堆中仅有索引为1的元素，依次从索引为2的元素开始向堆中添加进行堆化，最终组织成堆；
2. 叶子节点不需要比较， 因此可以从下往上进行比较，即从高度 2 开始到 h；当一个数组的长度为 N 时， 那个最后一个元素父节点的索引一定是 N/2；因此只需要遍历 N/2 个元素即可；参见伪代码：

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
    heapify(a, n, i);
  }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

对于方法二的时间复杂度：
非叶子节点均需要进行堆化操作；每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度 k 成正比。因此有：
$S=1\ast h+2^1\ast (h-1)+...+2^k\ast (h-k)+...+2^{h-1}\ast 1$
根据 S = 2S - S, 错位相减有：
$S=-h+(2^h-2)+2^h=2^{h+1}-h-2$
由于 $h={\log }_{2}n$，因此有 $S=O(n)$

排序

对于大顶堆，只需要将堆顶元素放到下表为n的位置，再对前n-1个元素进行堆化操作即可达到排序的目的;

// 参考伪代码
// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

复杂度分析：
建堆的时间复杂度为 $O(n)$， 排序的时间复杂度为$O(n\log n)$;
因此堆排序的整体时间复杂度为$O(n\log n)$；
堆排序为原地排序，但是是非稳定的排序算法；

TOP-K

在内存中维护一个小顶堆， 遍历所有数据，当数据大于堆顶元素时，移除堆顶元素并插入当前数据，进行堆化；
最差时间复杂度为：$O(n\log n)$

优先级队列

构建大顶堆，根据优先级进行数据堆化，堆顶元素即为最高优先级；

定时器

构建小顶堆， 堆化数据 v：执行时间点时间-建堆的时间；堆顶元素即为最早执行的任务；
当执行堆顶任务后，重新堆化并计算堆顶元素的值；
定时器在：v - (任务插入时间-建堆时间) 这段时间内，可以什么都不需要做；
可以再每隔固定时间，更新堆的建堆时间，更新时需要重新计算整个堆的值；

中位数

构建一个大顶堆，一个小顶堆；以 中位数为堆顶元素；

1. 对于奇数n，大顶堆中有 $\frac{n}{2}+1$个元素， 小顶堆有$\frac{n}{2}$个元素；
2. 对于偶数n， 大顶堆，小顶堆中均$\frac{n}{2}$个元素；

当插入一个数时，判断是否大于大顶堆堆顶元素，大于则插入小顶堆，否则插入大顶堆；
再判断大小顶堆是否符合个数要求，不符合则通过移除堆顶元素，平衡两个堆即可；

大顶堆的堆顶元素即为中位数；