微分中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

1 罗尔定理

 费马引理：

在某一范围内，函数可导，,称导数等于0的点为驻点。

罗尔定理：

函数在闭区间上有意义，在该区间内函数处处可导，且端点值相等，则在该区间内肯定至少存在一点导数等于0.

2 拉格朗日中值定理

            罗尔定理的条件要求两端点值相等，这要求太严，并不常见，拉格朗日 中值定理去掉这个条件。则

，a,b是两个端点。

            几何意义：

柯西中值定理：

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，在满足之前的的情况下，下式成立

，拉格朗日中值定理相当于g(x)=x

1.2 洛必达法则（由柯西中值定理推出的）

首先，使用范围：0/0，或者∞/∞这种未定式的极限。

对于这两种未定式： 

除了这两种 洛必达法则不适用。

1.3 泰勒公式

泰勒中值定理：一个函数在一个区间内有 n+1阶导数，则函数f(x)可以写成

上式叫做泰勒展示，

成为余项，分为皮亚诺型和拉格朗日型余项，

皮亚诺

拉格朗日型余项

当a=0时，我们便得到了麦克劳林公式。

常见的泰勒展开

麦克劳林公式

sinx 是exp的偶次项，cosx是其奇次项，符号正负交替。

1.4 函数单调性和凹凸性

单调性：不说了。

凹凸性与拐点：

凹：导函数是单调增的，er jie；凸：导函数单调递减

对应二阶导数正负。拐点：凹凸性发生变化的点，二阶导数值为0.求出二阶导数的驻点后，要进行凹凸性检查。

有的点二阶导数不存在，也有可能是拐点。

1.5 函数的极值与最大值最小值

1.定理1:取得极值的点，导数等于0（必要条件）。

2 第一充分条件：该点左边导函数值小于0，右边导函数大于0.该点是极大值点，反之是极小值点。

3 第二充分条件：一阶导数等于0，二阶导数不为小于0，是极大值点，反之是极小值。

工程上有很多都是求最值问题。

1.6 函数图形的描绘

关键词：一阶导数，二阶导数，零点，凹凸性，拐点。

1.7 曲率（光滑曲线）

光滑曲线数学表示为，曲线函数可导，且导数连续。

1:弧微分的定义及其公式：将一段弧长放在直角坐标系中，一段很小很小的弧长怎么求，我们用ds来表示这段弧长。

其表达式： 其推导方法及其公式，这里不在贴出来。

2 曲率：用来表示曲线的弯曲程度。表示一段弧长起始点到终点的切线转过的角度。表示弧长，表示平均曲率，其物理意义表示，单位长度上角度转过的大小。表示曲率。圆的曲率是其半径的导数。

曲率的一般计算公式：

3 曲率圆与曲率半径：

  以曲线上某点的曲率的倒数作为半径作圆，叫曲率圆，其半径叫做曲率半径。圆心叫做曲率中心。

渐屈线：曲线C上一点对应的曲率中心的运动轨迹D，叫做渐屈线，反之C叫做D的渐伸线。

1.8 方程的近似解

二分法：二分法，就是每次将解存在的区间对半分，不断逼近真实值，直到其区间的长度达到精度要求。

切线法：以纵坐标与二阶导数符号一致的点作切线交与X轴，该点接近真实值，接着在走这个过程，直到精度满足要求。