哈夫曼树

 1、问题描述

      哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%～90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0，1串表示各字符的最优表示方式。一个包含100,000个字符的文件，各字符出现频率不同，如下表所示。

    有多种方式表示文件中的信息，若用0,1码表示字符的方法，即每个字符用唯一的一个0,1串表示。若采用定长编码表示，则需要3位表示一个字符，整个文件编码需要300,000位；若采用变长编码表示，给频率高的字符较短的编码；频率低的字符较长的编码，达到整体编码减少的目的，则整个文件编码需要（45×1+13×3+12×3+16×3+9×4+5×4）×1000=224,000位，由此可见，变长码比定长码方案好，总码长减小约25%。

     前缀码：对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。编码的前缀性质可以使译码方法非常简单；例如001011101可以唯一的分解为0,0,101,1101，因而其译码为aabe。

 

  译码过程需要方便的取出编码的前缀，因此需要表示前缀码的合适的数据结构。为此，可以用二叉树作为前缀码的数据结构：树叶表示给定字符；从树根到树叶的路径当作该字符的前缀码；代码中每一位的0或1分别作为指示某节点到左儿子或右儿子的“路标”。

     从上图可以看出，表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树，即树中任意节点都有2个儿子。图a表示定长编码方案不是最优的，其编码的二叉树不是一棵完全二叉树。在一般情况下，若C是编码字符集，表示其最优前缀码的二叉树中恰有|C|个叶子。每个叶子对应于字符集中的一个字符，该二叉树有|C|-1个内部节点。

     给定编码字符集C及频率分布f,即C中任一字符c以频率f(c)在数据文件中出现。C的一个前缀码编码方案对应于一棵二叉树T。字符c在树T中的深度记为dT(c)。dT(c)也是字符c的前缀码长。则平均码长定义为：使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为C的最优前缀码。     

 

 

2、构造哈弗曼编码

     哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。其构造步骤如下：

     (1)哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。

     (2)算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。

     (3)假设编码字符集中每一字符c的频率是f(c)。以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。

      构造过程如图所示：

代码 

//原作者 https://blog.csdn.net/jinixin/article/details/52142352
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
typedef struct node{
	char ch;                          //存储该节点表示的字符，只有叶子节点用的到
	int val;                          //记录该节点的权值
	struct node *self,*left,*right;   //三个指针，分别用于记录自己的地址，左孩子的地址和右孩子的地址
	friend bool operator <(const node &a,const node &b) //运算符重载，定义优先队列的比较结构
	{
		return a.val>b.val;           //这里是权值小的优先出队列
	}
}node;
 
priority_queue p;                //定义优先队列
char res[30];                          //用于记录哈夫曼编码
void dfs(node *root,int level)         //打印字符和对应的哈夫曼编码
{
	if(root->left==root->right)        //叶子节点的左孩子地址一定等于右孩子地址，且一定都为NULL;叶子节点记录有字符
	{
		if(level==0)                   //“AAAAA”这种只有一字符的情况
		{
			res[0]='0';
			level++;
		}
		res[level]='\0';               //字符数组以'\0'结束
		printf("%c=>%s\n",root->ch,res);
	}
	else
	{
		res[level]='0';                //左分支为0
		dfs(root->left,level+1);
		res[level]='1';                //右分支为1
		dfs(root->right,level+1);
	}
}
void huffman(int *hash)                //构建哈夫曼树
{
	node *root,fir,sec;
	for(int i=0;i<26;i++)              //程序只能处理全为大写英文字符的信息串，故哈希也只有26个
	{
		if(!hash[i])                   //对应字母在text中未出现
			continue;
		root=(node *)malloc(sizeof(node));          //开辟节点
		root->self=root;                            //记录自己的地址，方便父节点连接自己
		root->left=root->right=NULL;                //该节点是叶子节点，左右孩子地址均为NULL
		root->ch='A'+i;                             //记录该节点表示的字符
		root->val=hash[i];                          //记录该字符的权值
		p.push(*root);                              //将该节点压入优先队列
	}
    //下面循环模拟建树过程，每次取出两个最小的节点合并后重新压入队列
    //当队列中剩余节点数量为1时，哈夫曼树构建完成
	while(p.size()>1)
	{
		fir=p.top();p.pop();      //取出最小的节点
		sec=p.top();p.pop();      //取出次小的节点
		root=(node *)malloc(sizeof(node));          //构建新节点，将其作为fir，sec的父节点
		root->self=root;                            //记录自己的地址，方便该节点的父节点连接
		root->left=fir.self;      //记录左孩子节点地址
		root->right=sec.self;     //记录右孩子节点地址
		root->val=fir.val+sec.val;//该节点权值为两孩子权值之和
		p.push(*root);            //将新节点压入队列
	}
	fir=p.top();p.pop();          //弹出哈夫曼树的根节点
	dfs(fir.self,0);              //输出叶子节点记录的字符和对应的哈夫曼编码
}
int main()
{
	char text[100];
	int hash[30];
	memset(hash,0,sizeof(hash));  //哈希数组初始化全为0
	scanf("%s",text);             //读入信息串text
	for(int i=0;text[i]!='\0';i++)//通过哈希求每个字符的出现次数
	{
		hash[text[i]-'A']++;      //程序假设运行的全为英文大写字母
	}
	huffman(hash);
	return 0;
}

例题

荷马史诗

题目描述

追逐影子的人，自己就是影子 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》 组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有n种不同的单词，从1到n进行编号。其中第i种单 词出现的总次数为wi。Allison 想要用k进制串si来替换第i种单词，使得其满足如下要求：

对于任意的 1 ≤ i, j ≤ n ， i ≠ j ，都有：si不是sj的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的si的最短长度是多少？

一个字符串被称为k进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k − 1 之间（包括 0 和 k − 1 ）的整数。

字符串 str1 被称为字符串 str2 的前缀，当且仅当：存在 1 ≤ t ≤ m ，使得str1 = str2[1..t]。其中，m是字符串str2的长度，str2[1..t] 表示str2的前t个字符组成的字符串。

输入输出格式

输入格式：

 

输入的第 1 行包含 2 个正整数 n, k ，中间用单个空格隔开，表示共有 n种单词，需要使用k进制字符串进行替换。

接下来n行，第 i + 1 行包含 1 个非负整数wi ，表示第 i 种单词的出现次数。

 

输出格式：

 

输出包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

4 2
1
1
2
2

输出样例#1： 

12
2

输入样例#2：

6 3
1
1
3
3
9
9

输出样例#2： 

36
3

说明

【样例说明 1】

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词， 01(2) 替换第 2 种单词， 10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1 × 2 + 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2 = 12

最长字符串si的长度为 2 。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2)替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1 × 3 + 1 × 3 + 2 × 2 + 2 × 1 = 12

最长字符串 si 的长度为 3 。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

分析 

作者博客：http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/

考虑我们常规的二叉Huffman树就是每次取出权值最小的两个结点合并，将两个结点的权值的和作为一个新的结点继续合并，堆维护即可，当然跟合并果子的做法是一样的。值得一提的是这道题就是需要一棵k叉Huffman树，来保证合法性，同时由于我们每次取出的是权值最小的k个所以可以保证总代价最小。

Huffman树之所以可以保证合法性，是因为加入了许多虚拟结点，保证了一定不会有一个是另一个前缀的情况，考虑一个结点到根结点的路径上的所有点一定都是虚拟结点，所以很容易确定构造方法的合法。

另外，由于需要保证最大的长度最小，那么我们就在权值相等的时候按深度从小到大排序，优先合并深度小的，可以发现先合并的深度一定大于等于后合并的。

//It is made by ljh2000
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,k,ans2;
LL ans;
struct node{
    LL val;
    int deep;
    inline bool operator < (const node &a) const {
        if(a.val==val) return a.deepQ;
inline LL getint(){
    LL w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}
 
inline void work(){
    scanf("%d%d",&n,&k); LL x;
    for(int i=1;i<=n;i++) {  x=getint(); Q.push((node){x,1}); }
    int remain=(n-1)%(k-1);
    if(remain!=0) { remain=k-1-remain; n+=remain; }
    for(int i=1;i<=remain;i++) Q.push((node){0,1});
    while(n>1) {
        int maxd=0; LL tot=0;
        for(int i=1;i<=k;i++) {
            tmp=Q.top(); Q.pop();
            tot+=tmp.val;//只需加一次即可，因为以后每层都要加一次
            maxd=max(maxd,tmp.deep);//最大深度，作为排序的依据
        }      
        Q.push((node){tot,maxd+1});
        ans+=tot;
        ans2=max(ans2,maxd);
        n-=k-1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    printf("%d",ans2);
}
 
int main()
{
    work();
    return 0;
}