FFT在DSP28335中的使用

引言：

在做谐波提取的过程中，用到了FFT，由于开关频率的限制，最开始考虑的是DFT以及滑窗DFT，之后又考虑过FFT。过程中走了许多弯路，记录之！

1.傅里叶变换理论知识

1.1傅里叶级数

引用矩阵里面基的概念，一个非周期信号，可以用泰勒级数去展开，所选取的幂次信号就是一组基底，系数则是权重；于此对应，一个周期信号，就可以选取不同频率的正余弦信号作为基底，进行表示，从而得到傅里叶级数展开；展开的系数可以通过基底之间的正交性，从而两边分别乘以对应基底得到！

1.2傅里叶变换周期与离散的关系

傅里叶变换定义：

傅里叶变换定义的最原始适用范围是连续非周期时间信号，得到的频域信号就是连续非周期的；如果时域进行周期化，则频域就离散化，这就是傅里叶级数；如果时域进行离散化，则频域就周期化，这就是采样定理的由来；如果同时对时域进行离散化和周期化，则频域也会相应的周期化和离散化，这就是离散傅里叶变换DFT的由来；

1.3离散傅里叶变换

离散傅里叶变换的定义：

用矩阵表示如下：

1.4FFT

DFT用于信号处理，时间复杂度是O（N2），开销过大；利用数字信号处理里面的提取公因子、合并同类项的做法，不断二分，最后可以得到快速傅里叶变换，即时域基2的蝶形法，还有基4等方法。

FFT对信号要求是2的幂次，这也是它的一个限制地方

1.5滑窗DFT

针对FFT无法克服的对采样数目的限制，有的时候采取改进的滑窗DFT更加有利，并且DFT是并行算法！

2.在28335中实现

2.1DFT

DFT的程序，按照定义翻译成C语言即可；使用循环来计算每一次谐波的实部和虚部；虽然定义是N*N的矩阵，但是推到可以发现X（N-m）=X(m),也就是说，N个数，只能算出前N/2次的信号：

2.2FFT_自己实现

FFT按照蝶形运算的定义，分为两步：第一步，将输入数据进行换位处理，自己之前使用了一个迭代不断二分来换位，后来发现网上给的另一种算法简单多了，这建立在理解的基础上；第二步，就是进行一个三重循环，即可得到频域信号的实部和虚部；

在得到实部和虚部的基础上，可以求幅值和相角，也可以直接得到时域信号，这一点自己走了很多弯路——认为要求出幅值和相角，然后才能求出时域信号，其实只要只要：实部*cos(nwt)+虚部*sin(nwt)即可：

自己写的换位程序：

换位之后的蝶形运算程序：

在最后那个循环中四行代码中，自己敲了第一行，就进行了复制粘贴，由于其中一个变量没有改正，导致卡了很久——虽然你可以多次烧写和调试，但是时间是没有多次的，所以一定要逻辑严密！

2.3单点滑窗DFT

DFT相邻两个周期（0-255点和1到256点）之间，含有大量相同信息，如果提取这些信息保存，则可以大大减少第二次的计算量，这就是滑窗DFT的思想由来。

具体内容参照硕士论文《滑动DFT算法研究_黄寒华》。代码如下：

2.4多点滑窗

这个代码也卡了两天，就出在那个real已经被替换了，但是万分纠结，各种公式检查都没有问题，甚至怀疑那个公式错了，最后发现竟然是这个覆盖问题。

刚开始以为多点滑窗会快一点，后来发现，四点滑窗的时间比四个单点划窗的时间更长，复杂性可以从公式看出来：

2.5FFT调用库函数

28335中调用库函数的配置如下：

参照文档：

TI官网：C28x_FPU_Library_Beta1

库函数：

包含进去“C28x_FPU_Lib.lib”

头文件：

包含进去：#include “FPU.h”

CMD文件指定内存分配：

原文件里面指定指定分配：

FFT计算过程：

其他计算幅值、相角、归一化等函数，参照以上参考文档；

2.6FFT时间分析及改进算法

在文档中提到的基准时间，均是指其中某一语句的开销：

运算相位的时间明显比运算幅值的时间大了一个数量级，因为相位是actan(实部/虚部)，除法会特别慢；

自己当时在从实部和虚部到幅值的过程中，使用了除以256，导致时间比乘以256分之一慢了近十倍，值得注意；

另外，针对求出实部虚部后，再求出幅值和相角，再去求时域信号值，这个相角花费了巨大时间，可以改进的方法是：推导DFT公式，将得到的FFT虚部和实部，从N/2填充，实部偶对称，虚部奇对称，然后再讲得到的填充实部和虚部分别进行变换，得到时域值，这种方法只需要三个FFT，外加一些填充，总共210us即可实现！