a,b互质,则a,b最大不能表示出的数是ab-a-b

a,b互质,则a,b最大不能表示出的数是ab-a-b_第1张图片

无聊刷知乎发现连dalao们的聊天都看不懂了,这个定理参加蓝桥杯涉及过,之前又出现在NOIP 2017 D1T1被吐槽了(虽然我没打过OI),而且除了这两个地方据说还在cf上出现过,我还是记一下好了

下面给出定理和证明:

\((Sylvester\ theorem)\) 已知\(a,b\)是两个互素正整数,则当$ n > ab-a-b$ 时,\(ax+by=n\)有非负整数解;当\(n= ab-a -b\)时,\(ax+by=n\)没有非负整数解

首先用反证法证明\(S=\{a,2a,3a,\cdots,(b-1)a \}\) 为模\(b\)的完全剩余系

如果存在\(ax\equiv ay( \mod b),1 \le x,y \le b-1\),则\(b | a(x-y)\),由于\(a,b\)互质,\(b,(x-y)\)互质,矛盾

因此\(S\)\(b\)的余数互不相同

\(n\)使\(ax+by=n\)非负整数解,则由完全剩余系,存在\(k\)使得\(n \equiv ka( \mod b)\)\((1\le k \le b-1)\)

若$n \ge ka $ ,则\(n = ka + lb\),矛盾

所以$ n < ka $, \(n = ka- lb\),对所有的\(l,k\)取最大值,\(l=1,k=b-1\),此时\(n=ab-a-b\)

最后验证\(n=ab-a-b\)时没有非负整数解

变形有:\(a(x-b+1)=by-b\) ,因为\(a,b\)互质,\(b | (x-b+1)\) , 并且由于$ x \ge 0 , (x-b+1) \ge 1-b $,所以 $ x-b+1 \ge 0,x \ge b-1$

同理\(y \ge a-1\)\(ax+by \ge a(b-1)+b(a-1) = 2ab -a -b+1 \ge ab - a -b +1\),矛盾

转载于:https://www.cnblogs.com/falseangel/p/8545173.html

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