莫比乌斯反演
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YYB：http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7953803.html
YL：http://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/8250019.html
ZSY：http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/8186224.html
一、基本内容
《组合数学》P142写了详细内容，这里简单提一下：
Step1 Mobius函数
定义：
\[\mu(d)=\begin{cases} 1\quad \quad \quad d=1\\ {(-1)}^r \quad d=p1p2p3...pr\\ 0\quad \quad \quad 其他\end{cases}\]
定理：
对于任意正整数n，恒有\[\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 \quad n=1 \\ 0 \quad n>1 \end{cases}\]
证明：
\(n\)为\(1\)的时候很好证明，\(n>1\)的如下
首先\(n\)转化为\(n'\)，\(n={p1}^{a1}{p2}^{a2}...{pk}^{ak}\),\(n'=p1p2...pk\)。
那么对于\(d\)有\(n|d\)那么\(\mu(d)\)无贡献，推出\(\mu(n)=\mu(n')\)
在\(k\)个质数中选\(0\)个（偶数个系数是\(1\)，由定义得）\(+C(k,0)\)，选\(1\)个（奇数个系数是\(-1\)）\(-C(k,1)\)，最后的式子就是（组合数公式）
\[C(k,0)-C(k,1)+C(k,2)-...\pm C(k,k)=0\]
Step2 Mobius反演
形式A：
\[g(x)=\sum_{d|x}f(d)\]
\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d)\]
形式B：
\[g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)\]
\[f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})g(d)\]
这里给出形式\(A\)的证明
证明：
\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})\sum_{d'|d}f(d')\]
对于每一个\(f(d')\)，如果说它要被计算到，那么一定存在一个\(d\)使得\(d|x\)且\(d'|d\)
那么就是\(\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}\)，被计算的次数是\(\mu(\frac{x}{d})\)
\[f(x)=\sum_{d'|x}f(d')\sum_{\frac{x}{d'}|\frac{x}{d}}\mu(\frac{x}{d})\]
然后由上面的定理得出当且仅当\(\frac{x}{d}\)为\(1\)时\(\mu(\frac{x}{d})\)不为\(0\)，为\(1\)，进而
\[x=d,f(x)=\sum_{d'|1}f(d')=f(x)\]
形式\(B\)同理可证，核心思想是把贡献提出来
Step 3 举个例子
求:\[\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==1]\]
Way 1
令\[f(x)=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==x]\]
\[g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}f(d)\]
那么（中括号内表示成立为\(1\)否则为\(0\)）\[g(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==d]\]\[=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[x|gcd(i,j)]=\lfloor\frac{N}{x}\rfloor\lfloor\frac{M}{x}\rfloor\]
进而\[f(x)=\sum_{x|d}^{min(N,M)}\mu({\frac{d}{x}})g(d)\]\[f(1)=\sum_{i=1}^{min(N,M)}\mu(i)\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{i}\rfloor\]
加上数论分块可以\(O(\sqrt{N})\)完成（数论分块例题）
Way 2
由上面的莫比乌斯函数的定理可以知道\[[gcd(i,j)==1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\]
所以说\[Ans=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\]
提贡献：把\(d\)提到前面来\[Ans=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\sum_{d|i}^{N}\sum_{d|j}^{M}1\]即\[Ans=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\lfloor\frac{N}{d}\rfloor\lfloor\frac{M}{d}\rfloor\]
二、题目
1、练基础
- [x] 【HDU】GCD https://vjudge.net/problem/HDU-1695
- [x] 【Luogu】[POI2007]ZAP-Queries https://www.luogu.org/problemnew/show/3455
- [x] 【Luogu】[HAOI2011]Problem b https://www.luogu.org/problemnew/show/P2522
- [x] 【Luogu】[SDOI2008]仪仗队 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2158
- [x] 【SPOJ】Visible Lattice Points https://vjudge.net/problem/SPOJ-VLATTICE
- [x] 【ZOJ】Ideal Puzzle Bobble https://vjudge.net/problem/ZOJ-3435
- [x] 【Luogu】[NOI2010]能量采集 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447
- [x] 【CJOJ】gcd之和 https://oj.changjun.com.cn/problem/detail/pid/2512
- [x] 【UVa】GCD-Extreme(II) https://vjudge.net/problem/UVA-11426
- [x] 【Luogu】[国家集训队]Crash的数字表格 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1829
- [x] 【Luogu】GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568
- [x] 【Luogu】Hillan and the girl https://vjudge.net/problem/HDU-5663
2、刷提高
- [x] 【BZOJ】完全平方数 https://ruanx.pw/bzojch/p/2440.html
- [x] 【COGS】jzptab http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2031
- [x] 【HDU】Mophues https://vjudge.net/problem/HDU-4746
- [x] 【HDU】Code https://vjudge.net/problem/HDU-5212
- [x] 【Luogu】YY的GCD https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257
[x] 【COGS】[BZOJ4407]于神之怒加强版 http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2156
3、变态题
- [x] 【Luogu】P3327 [SDOI2015]约数个数和（我的题解）https://www.luogu.org/problemnew/show/3327
- [x] 【SNMOJ】[安师大]sanrd（我的题解） http://172.40.26.251/contest/55/problem/290
[ ] 【SDOI2014】数表 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3312
三、做题经验
1、Mobius求解以下问题
\(A、\)[POI2007]ZAP-Queries（题解戳我）
\(O(\sqrt{n})\)求下式（预处理\(O(n)\)，还有拓展到\(n\)个\(sigma\)的Visible Lattice Points）
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]\]
\(B、\)Gcd之和（题解戳我）
\(O(n)\)求下式（jzptab要求单次询问\(O(\sqrt{n})\)，题解戳我）
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\]
\(C、\)Crash的数字表格->单次\(O(n)\)求下式
jzptab->单次\(O(\sqrt{n})\)求下式（题解戳我）
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)\]
\(D、\)Mophues（题解戳我/题解戳我）
\(O(n\sqrt{n})\)预处理并单次\(O(\sqrt{n})\)求下式，\(Fact(i)\)表示\(i\)唯一分解后不同质因子的个数
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[Fact(gcd(i,j))<=P]\]
\(E、\)Code（题解戳我）
构造函数单次\(O(n\sqrt{n})\)求下式，\(A\)为给定的一个数列，\(A[i]<=1w\)
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(A[i],A[j])*(gcd(A[i],A[j])-1)\]
\(F、\)约数个数和（题解戳我【自己写的】）
\(O(n)\)预处理并单次询问\(O(\sqrt{n})\)处理下式，\(d(i)\)为\(i\)的约数个数详见引理\(B\)\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)\]
\(G、\)YY的GCD（题解戳我）
\(O(n)\)预处理并单次询问\(O(\sqrt{n})\)处理下式\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为质数?1:0]\]
\(H、\)Hillan and the girl（题解戳我）
\(O(n)\)或\(O(nloglogn)\)预处理并单次询问\(O(\sqrt{n})\)\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)为完全平方数?1:0]\]
\(I、\)于神之怒加强版（题解戳我）
\(O(n)\)预处理并单次询问\(O(\sqrt{n})\)\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^k\]
\(J、\)数字表格（题解戳我）
\(O(nloglogn)\)预处理并且单次询问\(O(\sqrt{n})\)，其中\(Feb(i)\)表示斐波那契数列第i项，\(Feb(0)=0,Feb(1)=1...\)\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}Feb(gcd(i,j))\]
2、小套路
\(A、\mu\)只会用到\(min(N,M)\)所以筛的时候可以不用筛到\(MAXN\)(助力冲榜)
\(B、\)数论分块套路（当数论分块会比较麻烦的时候可以用\(Map\)）
- 数论分块\(\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor\)：\([l,r]\)的值一定，则\[r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor即r=n/(n/l)\]
- 数论分块\(\lfloor{\frac{n}{i^2}}\rfloor\)：\([l,r]\)的值一定，则\[r=\lfloor{\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}}\rfloor}\rfloor即r=sqrt(n/(n/l/l))\]
- 数论分块\(\lfloor\sqrt{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}\rfloor\)：\([l,r]\)的值一定则\[r=\lfloor{\frac{n}{(\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor)^2}}\rfloor即r=n/(sqrt(n/l)*sqrt(n/l))\]
总结
用\(n\)和\(l\)表示\(x\)，然后尝试用\(n\)和\(x\)把\(l\)表示回去，就得到了\(r\)
\(Sample1\) \(x=\lfloor\frac{n}{l}\rfloor\)，\(l=\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\)，\(r=\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor\)
\(Sample2\) \(x=\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor\)，\(l=\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor\)，\(r=\lfloor{\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}}\rfloor}\rfloor\)
\(Sample3\) \(x=\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor\)，\(l=\lfloor\frac{n}{x^2}\rfloor\)，\(r=\lfloor{\frac{n}{(\lfloor\sqrt{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor)^2}}\rfloor\)
\(C、\)提\(gcd\)套路（把\(gcd\)换成字母\(d\)，从枚举\(i，j\)改成枚举\(d\)）
\(D、\)提贡献套路(换元思想)：
令\(T=id\)然后把里面的\(sigma\)提取到外面，统计贡献
\(E、\)构造函数套路(Code)，不过不常用也很难想
\(F、\)线性筛积性函数，详见另一篇笔记《积性函数与线性筛》
3、注意事项
\(A、\)数据范围大的时候注意随时取模！！
\(B、\)有时候卡空间/时间，那么能用\(int\)尽量\(int\)，随时\(1LL\)
４、引理
\(A、\)\[\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor\] 令\(n=a*(id)+b\)，\(b < id\)
那么\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=a*d+\lfloor\frac{b}{i}\rfloor,\lfloor\frac{b}{i}\rfloor< d\)
\(\lfloor{\frac{\frac{n}{i}}{d}}\rfloor=a=\lfloor{\frac{n}{id}}\rfloor\)
\(B、\)\[d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]\]
\(d(x)\)表示\(x\)的约数个数，如\(d(6)=4\)
任意\(nm\)的约数可以表示为\(i*\frac{m}{j}\)
如果\(gcd(i,j)!=1\)，可以令\(i=k_1p,j=k_2p\)，\(i*\frac{m}{j}\)表示的约数是\(\frac{k_1}{k_2m}\)，但是我们可以发现当\(i=k_1,j=k_2\)的时候就已经统计过这个约数了，再不懂可以手玩\(4*6\)
（Upd2018.8.15：公式写错了已更正 @Tyher）
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《线性筛》
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Code
筛\(\mu(x)\)
void Mobius()
{
mu[1]=1;ispri[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!ispri[i]) {pri[++tot]=i;mu[i]=-1;}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
{
ispri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
else break;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+mu[i];
}