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杂谈
老早就想整理一篇推荐算法的入门博文，今天抽空写一下。本文以电影推荐系统为例，简单地介绍基于协同过滤，PMF概率矩阵分解，NMF非负矩阵分解和Baseline的推荐系统算法。NMF的实现具体可以参考Reference中的「基于矩阵分解的推荐算法，简单入门」一文，对我启发很大。
基于协同过滤的推荐算法
什么是协同过滤？协同过滤是利用集体智慧的一个典型方法。要理解什么是协同过滤 (Collaborative Filtering, 简称 CF)，首先想一个简单的问题，如果你现在想看个电影，但你不知道具体看哪部，你会怎么做？大部分的人会问问周围的朋友，看看最近有什么好看的电影推荐，而我们一般更倾向于从口味比较类似的朋友那里得到推荐；或者，搜索与你喜欢的电影同类型的电影推荐。
User-based的推荐算法
如上图，我们收集到用户-电影评价矩阵，假设用户A对于物品D的评价为null，这时我们对比用户A、用户B、用户C的特征向量（以物品评价为特征），可以发现用户A与用户C的相似度较大，这时我们可以认为，对于用户C喜欢的物品D，用户A也应该喜欢它，这是就把物品D推荐给用户A。
Item-based的推荐算法
同理，我们对比物品A、物品B、物品C的特征向量（以用户对该物品的喜欢程度为特征），发现物品A与物品C很像，就把用品C推荐给喜欢物品A的用户C。
SVD和PMF概率矩阵分解
在实际业务场景中，user-Item矩阵有可能非常稀疏，存储率有可能连1%都达不到。怎么办呢？通常使用矩阵分解算法来提取出更有用的信息。SVD在矩阵分解方面可以参考基于SVD实现PCA的图像识别 一文，把它分解成用户矩阵（左奇异特征向量矩阵）和物品矩阵（右奇异特征向量矩阵）分别代表各自的特性。
但是SVD算法的时间复杂度很大，不适合用来解决这种比数据量较大的问题，这时就有PMF概率矩阵分解。把用户-电影 评分看成一个矩阵，rui表示u对电影i的评分，于是电影评分矩阵可以这样来估计：
其中P和Q就相当于SVD中的前k 个特征向量构成的矩阵，分别描述user-based和item-based。在PMF中使用SGD（随机梯度下降）进行优化时，使用如下的迭代公式：
我们把证明放到下一章节 NMF非负矩阵分解，NMF其实就是在PMF的基础上加入一点约束，具体约束公式如下：
基于NMF非负矩阵分解的推荐算法
我们知道，要做推荐系统，最基本的一个数据就是，用户-物品的评分矩阵，如下图所示：
矩阵中，描述了5个用户(U1,U2,U3,U4 ,U5)对4个物品(D1,D2,D3,D4)的评分(1-5分)，“-” 表示没有评分，现在目的是把没有评分的 给预测出来，然后按预测的分数高低，给用户进行推荐。
如何预测缺失的评分呢？对于缺失的评分，可以转化为基于机器学习的回归问题，也就是连续值的预测，对于矩阵分解有如下式子，R是类似图的评分矩阵，假设N*M维(N表示行数，M表示列数)，可以分解为P跟Q矩阵，其中P矩阵维度N*K，P矩阵维度K*M。
对于P,Q矩阵的解释，直观上，P矩阵是N个用户对K个主题的关系，Q矩阵是K个主题跟M个物品的关系，至于K个主题具体是什么，在算法里面K是一个参数，需要调节的，通常10~100之间。
对于上式的左边项，表示的是R^ 第i 行，第j 列的元素值，对于如何衡量矩阵分解的好坏，我们给出如下风险函数：
有了风险函数，我们就可以采用梯度下降法不断地减小损失值，直到不能再减小为止，最后的目标，就是每一个元素(非缺失值)的e(i,j)的总和 最小。我们可以得到如下梯度以及p、q的更新方式（其中α是学习步长，详见李航《统计机器学习》）：
在训练p、q参数过程中，为了防止过拟合，我们给出一个正则项，风险函数修改如下：
相应的p、q参数学习更新方式如下：
至此，我们就可以学习出p、q矩阵，将p x q就可以得到新的估计矩阵，由于加入了非负处理（缺失值部分的处理），我们可以发现原先缺失的地方有了一个估计值，这个估计值就作为了推荐的分值（其实就是拿非缺失值部分作参数学习训练，学习出来的结果当然不会有负数）。NMF实现代码如下：
package nmf;
public class Nmf {
public double[][] RM, PM, QM;
public int Kc, Uc, Oc;
public int steps;
public double Alpha, Beta;
public void run() {
for (int s = 0; s < steps; s++) {
// 梯度下降更新
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Oc; j++) {
if (RM[i][j] > 0) {
// 计算eij
double e = 0, pq = 0;
for (int k = 0; k < Kc; k++) {
pq += PM[i][k] * QM[k][j];
}
e = RM[i][j] - pq;
// 更新Pik和Qkj，同时保证非负
for (int k = 0; k < Kc; k++) {
PM[i][k] += Alpha
* (2 * e * QM[k][j] - Beta * PM[i][k]);
// PM[i][k] = PM[i][k] > 0 ? PM[i][k] : 0;
QM[k][j] += Alpha
* (2 * e * PM[i][k] - Beta * QM[k][j]);
// QM[k][j] = QM[k][j] > 0 ? QM[k][j] : 0;
}
}
}
}
// 计算风险损失
double loss = 0;
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Oc; j++) {
if (RM[i][j] > 0) {
// 计算eij^2
double e2 = 0, pq = 0;
for (int k = 0; k < Kc; k++) {
pq += PM[i][k] * QM[k][j];
}
e2 = Math.pow(RM[i][j] - pq, 2);
for (int k = 0; k < Kc; k++) {
e2 += Beta
/ 2
* (Math.pow(PM[i][k], 2) + Math.pow(
QM[k][j], 2));
}
loss += e2;
}
}
}
if (loss < 0.01) {
System.out.println("OK");
break;
}
// if (s % 100 == 0) {
// System.out.println(loss);
// }
}
}
public Nmf(double[][] RM, double[][] PM, double[][] QM, int Kc, int Uc,
int Oc, int steps, double Alpha, double Beta) {
this.RM = RM;
this.PM = PM;
this.QM = QM;
this.Kc = Kc;
this.Uc = Uc;
this.Oc = Oc;
this.steps = steps;
this.Alpha = Alpha;
this.Beta = Beta;
}
}package nmf;
import java.util.Scanner;
public class Keyven {
public static void main(String[] args) {
int Uc = 5, Oc = 4, Kc = 2;
double[][] RM = new double[Uc][Oc];
double[][] PM = new double[Uc][Kc];
double[][] QM = new double[Kc][Oc];
/*
* 5 3 0 1 4 0 0 1 1 1 0 5 1 0 0 4 0 1 5 4
*/
Scanner input = new Scanner(System.in);
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Oc; j++) {
RM[i][j] = input.nextDouble();
}
}
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Oc; j++) {
System.out.printf("%.2f\t", RM[i][j]);
}
System.out.println();
}
System.out.println();
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Kc; j++) {
PM[i][j] = Math.random() % 9;
}
}
for (int i = 0; i < Kc; i++) {
for (int j = 0; j < Oc; j++) {
QM[i][j] = Math.random() % 9;
}
}
// 最多迭代5000次，学习步长控制为0.002，正则项参数设置为0.02
Nmf nmf = new Nmf(RM, PM, QM, Kc, Uc, Oc, 5000, 0.002, 0.02);
nmf.run();
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Oc; j++) {
double temp = 0;
for (int k = 0; k < Kc; k++) {
temp += PM[i][k] * QM[k][j];
}
System.out.printf("%.2f\t", temp);
}
System.out.println();
}
input.close();
}
}实验结果：
基于Baseline的推荐算法
要评估一个策略的好坏，就需要建立一个对比基线，以便后续观察算法效果的提升。此处我们可以简单地对推荐算法进行建模作为基线。假设我们的训练数据为：
其中mu（希腊字母mu）为所有已知投票数据中投票的均值，bu为用户的打分相对于平均值的偏差（如果某用户比较苛刻，打分都相对偏低， 则bu会为负值；相反，如果某用户经常对很多片都打正分， 则bu为正值）； bi为该item被打分时，相对于平均值得偏差，可反映电影受欢迎程度。 bui则为基线模型对用户u给物品i打分的预估值。该模型虽然简单， 但其中其实已经包含了用户个性化和item的个性化信息， 而且特别简单（很多时候， 简单就是一个非常大的特点， 特别是面对大规模数据时）。
基线模型中， mu可以直接统计得到，我们的优化函数可以写为（其实就是最小二乘法）：
也可以直接写成如下式子，因为它本身就是经验似然：
上述式子中u∈R(i) 表示评价过电影 i 的所有用户，|R(i)| 为其集合的个数；同理，i∈R(u) 表示用户 u 评价过的所有电影，|R(u)| 为其集合的个数。实现代码如下：
package baseline;
public class Baseline {
public double[] bi, bu;
public double[][] RM;
public int Uc, Ic;
public double lamada2, lamada3;
public Baseline(double[][] RM, int Uc, int Ic, double lamada2,
double lamada3) {
this.RM = RM;
this.lamada2 = lamada2;
this.lamada3 = lamada3;
this.Uc = Uc;
this.Ic = Ic;
this.bu = new double[Uc];
this.bi = new double[Ic];
}
public void run() {
// 计算μ
double avg = 0;
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Ic; j++) {
avg += RM[i][j];
}
}
avg = avg / Uc / Ic;
// 更新bi
for (int i = 0; i < Ic; i++) {
double bis = 0;
int Icnt = 0; // 点评过电影i的所有User个数
for (int tu = 0; tu < Uc; tu++) {
if (RM[tu][i] != 0) {
bis += RM[tu][i] - avg;
Icnt++;
}
}
bi[i] = bis / ((double)Icnt + lamada2);
}
// 更新bu
for (int u = 0; u < Uc; u++) {
double bus = 0;
int Ucnt = 0; // 用户u点评过得电影Item个数
for (int ti = 0; ti < Ic; ti++) {
if (RM[u][ti] != 0) {
bus += RM[u][ti] - avg - bi[ti];
Ucnt++;
}
}
bu[u] = bus / ((double)Ucnt + lamada3);
}
for (int u = 0; u < Uc; u++) {
for (int i = 0; i < Ic; i++) {
if (RM[u][i] == 0) {
RM[u][i] = avg + bi[i] + bu[u];
}
}
}
}
}package baseline;
import java.util.Scanner;
public class Keyven {
public static void main(String[] args) {
int Uc = 5, Ic = 4;
double[][] RM = new double[Uc][Ic];
/*
* 5 3 0 1 4 0 0 1 1 1 0 5 1 0 0 4 0 1 5 4
*/
Scanner input = new Scanner(System.in);
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Ic; j++) {
RM[i][j] = input.nextDouble();
}
}
Baseline bl = new Baseline(RM, Uc, Ic, 0, 0);
bl.run();
for (int i = 0; i < Uc; i++) {
for (int j = 0; j < Ic; j++) {
System.out.printf("%.2f\t", RM[i][j]);
}
System.out.println();
}
input.close();
}
}Baseline基线模型与NMF矩阵分解模型试验效果对比如下：
后记
什么是梯度下降？考虑下图一种简单的情形，风险函数为loss = kx，则总体损失就是积分∫kx dx，取梯度的反方向进行逐步更新至总体损失减小… …在我看来，其实，数据挖掘 = ①线性代数+②应用概率统计+③高数（积分、梯度等数理意义）+④李航《统计机器学习》神书+⑤算法与数据结构… …只要好好努力打好基础，人就能不断向前走下去^_^
Reference
从item-base到svd再到rbm，多种Collaborative Filtering(协同过滤算法)从原理到实现
百度电影推荐系统比赛 小结 ——记我的初步推荐算法实践
白话NMF(Non-negative Matrix Factorization)
基于矩阵分解的推荐算法，简单入门（证明算法，非常有用！）
SVD因式分解实现协同过滤-及源码实现
探索推荐引擎内部的秘密，第 2 部分: 深入推荐引擎相关算法 - 协同过滤
推荐系统中近邻算法与矩阵分解算法效果的比较——基于movielens数据集