损失函数

目录：

一、0-1损失函数

二、平方损失函数（Square Loss）：主要是最小二乘法（OLS）中； 

三、绝对值损失函数

四、对数损失函数（Cross Entropy Loss，Softmax Loss ）：用于Logistic 回归与Softmax 分类中； 

五、指数损失函数（Exponential Loss） ：主要用于Adaboost 集成学习算法中； 

六、铰链损失函数（Hinge Loss）：主要用于支持向量机（SVM） 中； 

内容：

一、0-1损失函数

L(Y,f(X))={1,Y≠f(X)0,Y=f(X)

  可以看出，该损失函数的意义就是，当预测错误时，损失函数值为1，预测正确时，损失函数值为0。该损失函数不考虑预测值和真实值的误差程度，也就是只要预测错误，预测错误差一点和差很多是一样的。

二、平方损失函数

L(Y,f(X))=(Y−f(X))2

  该损失函数的意义也很简单，就是取预测差距的平方。

三、绝对值损失函数

L(Y,f(X))=|Y−f(X)|

  该损失函数的意义和上面差不多，只不过是取了绝对值，差距不会被平方缩放。

四、对数损失函数

L(Y,P(Y|X))=−logP(Y|X)

  这个损失函数就比较难理解了。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。

经典的对数损失函数包括entropy和softmax，这里以entropy为例

在逻辑回归中，我们采用的是对数损失函数。由于逻辑回归是服从伯努利分布(0-1分布)的，并且逻辑回归返回的sigmoid值是处于(0,1)区间，不会取到0,1两个端点。因此我们能够将其损失函数写成以下形式： 

L(ŷ ,y)=−(ylogŷ +(1−y)log(1−ŷ ))

  解释一下含义：

• 当真实值y=1时，L(ŷ ,y)=−logŷ ，当预测值ŷ 越接近1，logŷ 也越接近最大值1，加上负号后就代表误差值最小。而当预测值ŷ 越接近0，logŷ 越接近负无穷，加上负号后就代表误差值最大。
• 当真实值y=0时，L(ŷ ,y)=−log(1−ŷ )，当预测值ŷ 越接近0，log(1−ŷ )也越接近最大值1，加上负号后就代表误差值最小。而当预测值ŷ 越接近1，log(1−ŷ )越接近负无穷，加上负号后就代表误差值最大。

  最后逻辑回归中对于所有样本的损失函数为： 

J(w,b)=1m∑i=1mL(ŷ (i),y(i))=−1m∑i=1m[y(i)logŷ (i)+(1−y(i))log(1−ŷ (i))]

五、指数损失函数

指数误差，在boosting算法中比较常见:

J(w)=λR(w)+∑iexp(−yifw(xi))

学过Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例，是一个加和模型，损失函数就是指数函数。在Adaboost中，经过m此迭代之后，可以得到fm(x)fm(x):

Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数α 和G：

而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下

可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：

六、hinge loss损失函数

hinge损失函数和SVM是息息相关的。在线性支持向量机中，最优化问题可以等价于下列式子：

下面来对式子做个变形，令：

于是，原式就变成了：