密码学数学背景（一）--复杂性理论

复杂性理论提供了一种分析不同密码技术和算法的计算复杂性（computational complexity） 的方法。它对密码算法和技术进行比较， 然后确定它们的安全性。信息论就告诉我们， 所有的密码算法（除了一次一密乱码本） 都能被破译。 复杂性 理论告诉我们在宇宙包扎前它们能都被破译。

2.1 算法的复杂性

算法的复杂性即运行它所需要的计算能力。 算法的计算复杂性常常用两个变量来 度量： T（时间复杂性（time complexity）） 和S（空间复杂性（ space complexity））,或所需的存储空间。
T和S通常表示为n的 函数， n是输入的大小（算法的计算复杂性还有其他许多度量尺度，： 随机位的数目、通信带宽、数据总量等）。

此处和通常意义上的算法复杂性区别不大。 通常用‘大O’ 表示：计算复杂性的量级。
用以上方法度量时间复杂性不依赖于系统。 这样， 就不必知道各种指令的精确时间，或用于表示不同变量的位数， 甚至连处理器的速度也不必知道。 一台计算机或许比另一台快50%， 而第三台或许有两倍的数据宽度， 但对一个算法的复杂性数量级而言是 一样的。

通常算法按其时间和空间复杂性进行分类。 如果一个算法的复杂性不依赖与n， 即为O(1), 那么它是常数的（constant）。 如果它的时间复杂性是 O(n), 那么它是线性的（linear） 。 有些算法开可分为 二次方的（quadratic） 、三次方的（cubic）等。 所有 这些算法都是多项式的（ploynomial）， 复杂性可表示为O(n^m), 其中m是常数。
具有多项式时间复杂性的算法族称为 多项式时间 （ploynomial-time）算法.

若算法的复杂性为 O(t^f(n)) 的指数算法的子集 ，称为超多项式（superpdynomial）算法，其中c是一个常数， f(n) 是大于而小于线性的函数。一般来说 密码的攻击算法是超多项式时间复杂性的，但是还不能证明永远不会发现非多项式时间攻击算法。 或许某一天，计算复杂性的发展使得可能涉及这样的密码： 能以数学的确定性 排除 多项式时间攻击算法的存在（从而具有指数级的时间复杂性）。

当n增大时， 算法的时间复杂性能够显示算法是否实际可行方面的巨大差距。 下表给出了当 n等于 10^6时， 不同算法族运行时间。表中忽略了常数， 给出了忽略常数的原因。
| 族 |复杂性 |操作次数| 时间|
|常数的 |O(1) | 1 | 1微妙|
|线性的 |O(n) |10^6 |1秒|
|二次方的|O(n^2) | 10^12 |11.6天|
|三次方的|O(n^3) | 10^18 |32000天|
|指数的 |O(2^n) | 10^301030 |宇宙年龄的10^301006倍|

假定计算机的时间单位是 微秒， 那么这台计算机能够在1微秒内完成一个常数阶 的算法， 在1秒内完成一个线性阶的算法， 。。。。

现在来看密码系统的穷举攻击问题， 这种攻击的时间复杂性与可能的密钥总数成比例， 它是密钥长度的指数函数。 如果n是密钥长度， 那么穷举算法的复杂性就是 O(2^n).
穷举 DES 56位密钥的复杂性是 2^56， 而对于112位密钥， 其复杂性是 2……112. 前一种可能被破译，后一种是绝对不可能被破译的。

2.2 问题的复杂性

复杂性理论同时也对问题的内在复杂性进行分类， 这并不同于解决问题的算法复杂性。 这个理论可看到 称为图灵机（Turing machine）的理论计算机基础上解决最难的问题实例所需的最小时间和空间。

能够用多项式时间算法解决的问题称为 易处理（tractable）,因为它们能够用适当的输入大小， 在适当的时间开销内解决（“适当的”的精确定义取决于实际情况）。不能在多项式时间内解决的问题 为 难处理（intractable）问题。

问题分成一些复杂性类型， 它取决于解法的复杂性。
在底层， P类包括所有能用多项式 时间解决的 问题，
NP类包括所有在非确定型图灵机上可用多项式时间解决的问题。
非确定型图灵机是标准图灵机的变形， 它能进行猜测。
此机器通过“幸运猜测”或 平行尝试 猜测所有可能问题的解， 然后在多项式时间内检查他的猜测。

NP问题与密码学的关系如下：
许多对称算法和所有公开密钥算法能够用非确定型的多项式时间（算法）进行攻击。 如果一直密文C， 密码分析者 简单地猜测一个明文X和一个密钥K，然后在输入 X 和 K 的基础上， 以多项式时间运行加密算法， 然后检查结果是否 等于C。 这在理论上很重要， 因为它给出了对于这类时间运行的加密算法，密码分析复杂性的上限。
NP类 包括P类， 因为任何在确定型图灵机上用多项式时间算法可解决的问题， 在非确定型图灵机上用多项式时间（算法）也是可以解决的，因为猜测阶段可以简单地省略。

如果所有NP问题在确定型图灵机上用多项式 时间（算法）是可解决的， 那么P = NP。

这里涉及到一个概念， 可****满足性问题。 （可满足性问题是指 给出一个命题的布尔公式， 有队变量赋值， 使公式为真的方法）。
Steven Cook 证明了可满足性问题 是NP完全（NP-complete）问题。
可满足性问题在多项式时间（算法）是可解决的， 那么 P = NP。相反，如果NP中 的任何问题能够被证明没有一个确定的多项式时间算法， 被证明就讲给出满足性问题也没有一个确定的多项式时间算法。 因此， 可满足性问题在NP 中使最难的 问题。

其他还有 PSPACE 和 PSPACE-完全（PSPACE-complete）问题以及更更困难的 EXPTEME问题和 EXPTEME完全问题。

2.3 NP完全问题
Michael Gareg 和 David Johnson编辑了一份300多个NP完全问题（NP-complete）的目录， 此列出其中一些：

• 旅行商问题。 一名旅行商必须旅行到n个不同的城市，而他仅有一箱汽油（即有一个他能旅行的最远距离）。有方法使他仅用一箱汽油而旅行到每个城市恰好一次吗？这是汉密尔顿问题的特例
• 三方匹配问题。 有一屋子的人，包括n个男人， n个女人和n个牧师（祖父、犹太人、教师等）。 正常的婚礼将包括一个男人，一个女人和一个愿意主持仪式的牧师。 有了这样一张可能的三人一组的表，是否可能安排n场婚礼，使每一个人要么和一个人结婚，要么主持婚礼？
• 三方满足问题。有n个逻辑语句， 每一个语句具有三个表达式：
• if (x and y ) then z; (x and w) or (not z);
• if ((not u and not x) or (z and (u or not x))) the ((not z and u) or x)
• 对所有的表达式有一个位真的赋值使所有语句均满足吗？