2.函数的性质

一.函数的单调性与最值

题型一:判断证明函数的单调性

1. 证明函数在定义域上是减函数.
    
    
    
    
    
    
2. 证明函数在上是增函数.
    
    
    
    
    
    
3. 讨论函数在上的单调性.
    
    
    
    
    
    

题型二:复合函数单调性

1. 已知函数与均是定义域为的增函数,判断下列函数的单调性
   （1）
   （2）
   （3）
    
    
2. 函数 的单调递减区间是_____________.

题型三:利用函数的单调性比较大小

1. 已知函数在上是减函数,试比较与的大小.
    
    
    
    
    
    

题型四:利用函数的单调性解不等式

1. 已知为上的减函数,则满足的实数的取值范围是___________.

题型五:抽象函数单调性的证明

1. 已知函数 对任意,总有,且当时,且.
   （1）求证在上是减函数;
   （2）求在上的最大值和最小值.
    
    
    
    
    
    

题型六:定轴动区间与定区间动轴问题

1. 求函数在区间上的最值.
    
    
    
    
    
    
2. 求函数在区间上的最值.
    
    
    
    
    
    
3. 已知函数.
   （1）当时,恒成立,求的范围;
   （2）当时,恒成立,求 的范围.
    
    
    
    
    
    

课后练习

1. 函数在和都是增函数,若,且那么___________.
   A.
   B.
   C.
   D.无法确定
    
2. 函数是上的增函数,若对于任意的都成立,则必有___________.
   A.
   B.
   C.
   D.
    
3. 已知在实数集上是减函数,若,则下列正确的是___________.
   A.
   B.
   C.
   D.
    
4. 函数的单调递增区间是___________.
    
5. 函数的单调递增区间是___________.
    
6. 已知函数的最大值为,最小值为,则的值为___________.
    
7. 若函数的值域是,则函数的值域是___________.
    
8. 已知函数.
   （1）若,则的定义域___________;
   （2）若在区间上是减函数,则实数的取值范围是___________.
    
9. 的定义域为,值域为,则实数的取值范围是___________.
    
10. 对于每个实数,设是,,三个函数中的最小值,则的最大值是___________.
     
11. 对,记,则函数的最小值是___________.
     
12. 在区间上的最大值为1,则实数的值是___________.
     
13. 判断函数的单调性并用单调性的定义证明你的结论.
     
     
     
     
     
     
14. 利用定义判断函数在区间上的单调性.
     
     
     
     
     
     
15. 若非零函数对任意实数均有,且当时,.
    （1）求证:;
    （2）求证:为减函数
    （3）当时,解不等式.
     
     
     
     
     
     
16. 已知定义域为的函数同时满足:①对于任意,总有;②; ③若,,则有.
    （1）求;
    （2）求函数的最大值.
     
     
     
     
     
     
    17.设函数.对任意,恒成立,求实数 的取值范围.
     
     
     
     
     
     
    18.设函数对于任意都有,求实数的取值范围.
     
     
     
     
     
     

二.函数的奇偶性

题型一:判断函数的奇偶性

1.判断下列函数奇偶性并证明:
（1）
 
 
（2）
 
 
（3）
 
 

题型二:利用奇偶性求函数值、解析式,解不等式

1. 已知,且,求.
    
    
    
    
    
    
2. 已知是奇函数,当时, ,求时,的解析式.
    
    
    
    
    
    
   3.设在上是偶函数,在上递增,且有,求的取值范围.
    
    
    
    
    
    

课后练习

1. 定义在上的函数满足:对任意有,则___________.
   A.为奇函数
   B.为偶函数
   C.为奇函数
   D.为偶函数
    
2. 下列判断正确的是___________.
   A.函数是奇函数
   B.函数是偶函数
   C.函数是非奇非偶函数
   D.函数既是奇函数又是偶函数
    
3. 函数,,则,的奇偶性依次为
   ___________.
   A.偶函数,奇函数
   B.奇函数,偶函数
   C.偶函数,偶函数
   D.奇函数,奇函数
    
4. 设函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是___________.
   A.是偶函数
   B.是奇函数
   C.是偶函数
   D.是奇函数
    
5. 若函数为奇函数,则___________.
    
6. 设偶函数满足,则不等式的解集为___________.
    
7. 已知为奇函数,,,则___________.
    
8. 已知函数为偶函数,则的值是___________.
    
9. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解集是___________.
    
10. 已知,,则___________.
     
11. 定义在上的奇函数,当时,,那么时,___________.
     
12. 若函数在上是奇函数,则的解析式为___________.
     
13. 设函数与的定义域是,是偶函数,是奇函数,且,求与的解析式.
     
     
     
     
     
     
14. 已知函数在上有定义,当且仅当时, ,且对任意,都有.证明:
    （1）为奇函数;
    （2）在上单调递减.