KMP算法

摘要

KMP算法，又称模式匹配算法，能够在线性时间内判定字符串 T 是否为 S 的子串，并求出字符串 T 在 S 中各次出现的位置。
KMP算法比较晦涩难懂。本文对于思想介绍略简，侧重于实现。

问题模型与算法思路

问题模型： 给定两个字符串 S 和 T ，试求出 T 在 S 中第一次出现的位置。

上述问题模型是模式串匹配最基础的模型，即单模式串匹配问题，这类问题是KMP算法以及字符串Hash大展身手的题型。

算法思路1：Hash
设|S| = n , |T| = m。如果不考虑冲突，那么我们可以将 S 的所有长度为 m 的子串hash值都求出来，复杂度为O(N)。将这 n-m+1 个子串与T的hash值在O(1)的时间内一一比对，即可通过hash值是否相同来判断是否匹配成功。
但实际上如果n和m很大(1e6)，那么散列值冲突是不可避免的，此时需要二次判断或者通过其他方法（构造更好的散列函数）来在保证速度的情况下提升正确性。

算法思路2：KMP
设|S| = n , |T| = m。首先考虑一个朴素算法，那就是将字符串 S 中的每一个长度为m的子串都与 T 进行一次匹配，失配后再匹配下一个，复杂度O(NM)。
手动模拟一下可以发现，上述做法中指向字符串 S 的指针和 T 的指针都有回退${}^{[1]}$，但实际上我们并不需要发生回退，KMP算法就是通过防止指针回退来提升朴素算法效率的。

假设我们 S[i] 和 T[j+1] 发生了失配，如果我们知道 “T 中以 j 为末尾的真子串” 和 T[1, j] 的最长公共前缀的长度（假设为len，len一定小于 j ），那么显然 T[1, len] = S[i-len+1, i]；于是此时的 j = len，接着匹配即可。我们用nex数组（见下文）来存放 T 对应位置的“len”。

详细的讲，KMP算法分为两步：

1. 对字符串 T 进行自我“匹配”，求出一个数组 nex，其中 nex[i] 表示“ T 中以 i 结尾的非前缀子串”与“ T 的前缀”能够匹配的最大长度，即：
     nex[i] = max{j}，其中j < i 并且 T[i-j+1, i] = T[1 ,j]。
2. 对字符串 T 与 S 进行匹配，求出一个数组 f ，其中 f[i] 表示“S 中以 i 结尾的子串”与“ T 的前缀”能够匹配的最长长度。即：
     f[i] = max{j}，其中j <= i并且 S[i-j+1, i] = T[1, j]

[1] 指针回退：在朴素做法中，如果发生失配，则要将指向 S 串的指针回退到当前子串起始位置，并右移至下一个子串起始位置，同理指向 T 的指针也要回到起始位置。

Next数组

首先要明白什么是Next数组（以下简称nex数组）。
nex[i]表示“T 中以 i 结尾的非前缀子串”与“T 的前缀”能够匹配的最长长度，即：nex[i] = max{j}，其中j < i 并且 T[i-j+1, i] = T[i, j]。

跳过：nex数组起到什么辅助作用，为什么要用nex数组？

nex 数组的求法

1. 初始化 nex[1] = j = 0，假设nex[1, i-1] 已求出，下面求nex[i]。
2. 不断尝试拓展匹配长度 j，如果拓展失败（下一个字符不相等），令 j 变为nex[j]，直至 j 为0（应该从头开始匹配）。
3. 如果能够拓展成功，匹配长度 j 就增加1。nex[i] 的值就是 j 。

代码块

void getNex(const char *s){
	/*更新模式串s的nex数组*/
	int len = strlen(s);
	memset(nex,0,sizeof nex);
	for(int i = 2,j = 0;i < len;i++){
		while(j > 0 && s[i] != s[j+1]) j = nex[j];
		if(s[i] == s[j+1]) j++;
		nex[i] = j;
	}
}

f 数组

按照前面的定义， f[i] 表示“S 中以 i 结尾的子串”与“ T 的前缀”能够匹配的最长长度。可以发现 f 数组和 nex 数组定义是一致的，因此他们的求解过程也基本一致。

代码块

void getF(const char* S,const char *T){
	/*求解 f 数组,S是目标串,T是模式串*/ 
	memset(f,0,sizeof f);
	int len1 = strlen(S),len2 = strlen(T);
	for(int i = 1,j = 0;i < len1;i++){
		while(j > 0 && (j == len2 || S[i] != T[j+1])) j = nex[j];
		if(S[i] == T[j+1]) j++;
		f[i] = j;
	}
}

例题讲解

测试地址
代码模板

/*
	KMP算法模板-ValenShi
	最后修改：2019/9/26
	使用说明：
		1.字符串起始位置是1而不是0,修改可能会出错.
		2.记得初始化nex与f数组
		3.原串长度与模式串长度都在函数中用strlen更新,无需修改全局变量 
*/ 
#include
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
char s1[N],s2[N];
int nex[N],f[N];
void getNex(const char *s){
	/*更新模式串s的nex数组*/
	int len = strlen(s);
	memset(nex,0,sizeof nex);
	for(int i = 2,j = 0;i < len;i++){
		while(j > 0 && s[i] != s[j+1]) j = nex[j];
		if(s[i] == s[j+1]) j++;
		nex[i] = j;
	}
}
void getF(const char* S,const char *T){
	/*求解 f 数组,S是目标串,T是模式串*/ 
	memset(f,0,sizeof f);
	int len1 = strlen(S),len2 = strlen(T);
	for(int i = 1,j = 0;i < len1;i++){
		while(j > 0 && (j == len2 || S[i] != T[j+1])) j = nex[j];
		if(S[i] == T[j+1]) j++;
		f[i] = j;
	}
}
void solve(){
	/*求解nex数组与f数组,并 按要求 输出答案*/
	getNex(s2);
	getF(s1,s2);
	int len1 = strlen(s1)-1,len2 = strlen(s2)-1;
	for(int i = 1;i <= len1;i++){
		if(f[i] == len2) printf("%d\n",i-len2+1);
	}
	for(int i = 1;i <= len2;i++) printf("%d ",nex[i]);
}
int main(){
	scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
	s1[0] = s2[0] = '#';//不然strlen函数无法使用 
	solve();
	return 0;
}

参考资料

• 董永建，信息学竞赛一本通提高版，福州：福建教育出版社，2018.6，74-81
• 李煜东，算法竞赛进阶指南，郑州：河南电子音像出版社，2017.10，65-67