线代基本概念2--线性方程组

线性组合、线性表出、向量组等价、线性相关、线性无关、向量组的秩、极大线性无关组

线性组合

    解决作用：在“解线性方程组、求逆阵、矩阵理论探索”起作用  

    定义：线性组合是一个线性代数中的概念，代表一些抽象的向量各自乘上一个标量后再相加。

线性表出

矩阵等价：两个矩阵A,B等价表示,A可经过有限次初等变换变成B

向量组等价：向量组等价表示,两个向量组可以相互表出。

线性相关与线性无关

        在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

     自己的话：一组向量，如果其中一个向量可以用剩余其它向量线性组合来表示，则称这组向量线性相关。否则称它们为线性无关。

      几何意义:在几何 空间R^3中，两个向量不共线，或三个向量不共面。就说这两个（三个）向量                        线性无关。

       代数定义:设a1,a2,...,an是向量组，若存在一组数k1,k2,...,kn,使得:k1a1+k2a2+...+knan=0  只在                         k1=k2=...=kn=0时成立。则称向量组a1,a2...an线性无关。

极大线性无关组

            设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如

                     (1) α1,α2,...αr 线性无关；

                     (2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，

                   那 么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

      三个性质：

           1、  任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

            2、一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

            3、若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无                    关向量组的向量个数小于或等于后者

向量组的秩

      它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

     向量组的秩的大小的意义表示这个向量组可以有这么组向量来表示这个向量组的空间了。向量组的空间维度大小与该组任何一个向量的维度没关，向量组的空间维度大小它由这个向量组的秩决定。